RAPPORT ANHARMONIQUE D’üN FAISCEAU DE QUATRE DROITES 27 
Quatrième démonstration. — Par le sommet O du faisceau 
menons deux axes quelconques Ox, O y, situés dans le plan du 
faisceau, et désignons par m t , m 2j m 3 , m 4 les pentes (I, 110) des 
droites A t , A 2 , A,, A 4 respectivement. 
Les équations de ces droites sont 
y = "hx, y m 2 x, 
y=m 3 x, y'—m^x. 
D’autre part, coupons ce faisceau par une droite quelconque L, 
ayant pour équation 
y = mx + p, 
et désignons par A, B, C, D les points où cette droite rencontre 
les rayons du faisceau. 
Nous allons démontrer que le rapport anharmonique (ABCD) 
est indépendant de la droite L. 
Par les points A, B, C, D menons des parallèles à Oy, lesquelles 
rencontrent Ox aux points A 1( B^ C 1? Dj respectivement; nous 
avons (2) 
(ABCD) = (A 1 B 1 C 1 D 1 ). 
Désignons par a, b, c, d les abscisses des points A t , B 1? C t , D t 
sur Oæ; nous avons vu (20) que l’on a 
(A.BADi) 
c — a d — a 
c — b d — b 
Nous en déduisons 
(ABCD) = | : 
d — a 
d — b 
Or, a est aussi l’abscisse du point A par rapport aux axes 
Occ, Oy. Comme le point A est le point de rencontre des droites