RAPPORT ANHARMONIQUE 
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Nous avons ainsi deux séries rectilignes de quatre points qui 
ont même rapport anharmonique et deux points homologues 
confondus au point D. Donc (67) les droites ay, GC, EII sont 
concourantes. 
Or GG et Eli sont les côtés 2 et 5 de l'hexagone, qui se coupent 
au point (3. On voit donc que le point [3 est sur la droite ay, ou 
que les points a, (3, y sont en ligne droite. 
Remarque 1. — Cette démonstration peut être présentée de 
plusieurs manières, puisqu’on peut choisir arbitrairement les 
sommets des deux faisceaux, à condition qu’ils ne soient ni 
opposés, ni consécutifs. Si nous prenons par exemple les 
points A et C, nous avons 
(A.BDEF) = (C.BDEF). 
Nous coupons le premier faisceau par le côté DE, qui est 
séparé de A par un seul sommet et qui ne passe pas par le 
point C, et le deuxième faisceau par le côté EF qui est séparé 
de C par un seul sommet et qui ne passe pas par le point A. 
Nous obtenons ainsi 
(aDEK) = ((3 HEF), 
et ceci nous montre que a(3, DH, KF sont concourantes. 
Remarque II. — Comme nous l’avons vu (II, 26 à 29), le 
théorème de Pascal peut s’étendre à un pentagone, ou à un 
quadrilatère, ou à un triangle inscrits dans un cercle. 
71. Théorème de Brianclion. — Dans tout hexagone circonscrit 
à un cercle., les droites qui joignent les sommets opposés passent par 
un même point. 
Ce théorème a été déjà 
démontré (IV, 83) en 
transformant le théo 
rème de Pascal par 
polaires réciproques. 
Nous allons en don 
ner une démonstration 
directe, qui d'ailleurs 
n'est pas autre chose 
que la transformée par 
polaires réciproques de la démonstration que nous venons de 
donner du théorème de Pascal,