RAPPORT ANHARMONIQUE 
59 
Remarque II. — Comme nous l’avons vu (IV, 84 à 87), le 
théorème de Brianchon peut s’étendre à un pentagone, à un 
quadrilatère ou à un triangle circonscrits à un cercle. 
72. Deux triangles polaires réciproques par rapport à un cercle sont 
homologiques. 
On dit que deux triangles sont polaires réciproques par rapport 
à un cercle lorsque les sommets de chacun d’eux ont pour 
polaires les côtés de l'autre. 
Pour construire deux triangles polaires réciproques, on peut 
se donner arbitrairement l’un deux, soit ABC, puis construire 
les polaires des points A, B, C par rapport au cercle. Désignons 
par A' le point de rencontre des polaires de B, C, par B' celui 
des polaires de C, A, et enfin par C' celui des polaires de A, B. 
Il est aisé de voir que les deux triangles ABC et A'B'C' sont 
polaires réciproques. En effet, d’après la construction indiquée, 
les polaires des sommets A, B, C du triangle ABC sont respec 
tivement les côtés B'C', C'A', A'B' du triangle A'B'C'. Récipro 
quement, je dis que A' est le pôle de BC. En effet, A' est le 
point de rencontre des polaires C'A', A'B' des points B, C; 
donc A' est le pôle de BC (IV, 7). 
Pour établir que les deux triangles ABC, A'B'C' sont homolo 
giques, nous montrerons que les points 
a(BC, B'C'), p (CA, C'A'), y (AB, A'B'), 
sont en ligne droite. Nous désignons par a, b les points de 
rencontre de AB avec 
C'A', B'C' respective 
ment. 
Le point a, intersec 
tion de BC, B'C', a pour 
polaire la droite A'A, qui 
joint les pôles de BC, 
B'C'; de même le point b, 
commun à B'C', AB, a 
pour polaire la droite 
AC'. 
Les quatre points en 
ligne droite a, b, C', B' 
ont pour polaires les 
quatre droites AA', AC', AB, AC, qui concourent au point A, 
pôle de la droite portant les quatre points. 
P