RAPPORT ANHARMONIQUE 
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allons considérer les trois quadrilatères complets (A, A', BB', CC'), 
(A, A', CC', AA') et (A, A', AA', BB'). 
Soient oq, a,, p 15 p 2 , y t , y 2 les milieux des segments BC', CB', 
CA', AC', AB', BA' respectivement. La droite oqoq est la droite 
qui joint les milieux des diagonales du premier quadrilatère; 
PiP 2 et T1T2 sont les droites analogues pour les deux autres. Il 
nous faut démontrer que les droites a t a 2 , PjP 2 , y t y 2 sont concou 
rantes. 
Pour cela, il suffit de remarquer que les droites y^, a 1 y 2 , P t a 2 
sont parallèles à A' (car y t p 2 par exemple joint les milieux des 
segments AB' et AC'); de même, p^, y^, a 4 p 2 sont parallèles 
à A. Désignons les trois premières par a, b, c, les trois der 
nières par a', b', c', et appliquons le théorème précédent; nous 
voyons immédiatement que les droites cqa 2 , ¡3^,, y 1 y 2 sont con 
courantes. 
82. On donne an triangle ABC et un point O dans son plan. Par ce 
point on mène aux droites OA, OB, OC des perpendiculaires qui ren 
contrent respectivement les côtés BC, CA, AB aux points a, P, y. 
Démontrer que ces trois points sont en ligne droite. 
Soit I le point de rencontre de OA avec BC. Les deux fais 
ceaux (O.BICa) et (O-Payl), ayant leurs rayons homologues 
perpendiculaires, ont même 
0 
rapport anharmonique (47). 
On peut donc écrire 
(O.BICa) = (0. Pay I) 
= (0.ylpa), 
et 
(A.BICa) = (O.y ip a 
Ces deux faisceaux ont 
même rapport anharmonique 
et deux rayons homologues 
confondus AI, 01; donc les 
points de rencontre a, p, y des autres rayons homologues sont 
en ligne droite. 
Voir d’autres démonstrations (II, 56) et (IV, 98). 
83. Par le pied H de la hauteur AII du triangle ABC on mène des 
perpendiculaires HD, HE aux côtés AB, AC et des parallèles HF, 
H G aux mêmes côtés. Démontrer que les droites DE, GF se coupent sur 
le côté BC. 
Papelier. 
Ex. Géorn. mod.., V. 
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