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RAPPORT ANHARMONIQUE 
91. Dans un triangle ABC on mène les hauteurs AA', BB', CC'; les 
droites BC, B'C' se rencontrent au point A", CA, C'A' au point B", 
AB, A'B' au point C". Démontrer que les centres des trois cercles 
AA'A", BB'B", CC'C" sont en ligne droite. 
Le triangle AA'A" étant rectangle en A', le cercle circonscrit 
a son centre au milieu a de AA"; de même, les centres des 
C" 
cercles BB'B" et CC'C" sont les 
milieux p, y de BB", CC". 
D’autre part, les triangles 
ABC, A'B'C', ayant leurs som 
mets sur trois droites concou 
rantes AA', BB', CC', sont 
homologiques ; donc les côtés 
correspondants, BC et B'C', 
CA et C'A', AB et A'B' se 
coupent en trois points A", B", 
C", qui sont en ligne droite. 
Considérons alors le quadri 
latère complet formé par les 
côtés du triangle ABC et par 
la droite A"B"C"; ses diago- 
", CC", et l’on sait que leurs 
nales sont les droites AA", BB 1 
milieux a, (3, y sont en ligne droite (II, 23). 
92. Dans un triangle ABC, les côtés BC, CA, AB sont rencontrés 
respectivement en A', B', C' par les droites AP, BP, CP, qui joignent 
les sommets du triangle ti un point quelconque P. D'autre part, une 
transversale A coupe les côtés B'C', C'A', A'B' du triangle A'B'C' 
respectivement aux points a, b, c. 
Démontrer que les droites Aa, Bb, Ce rencontrent les côtés BC, CA, 
AB respectivement en des points a, P, y en 
ligne droite. 
Les triangles ABC, A'B'C' étant 
homologiques, les côtés correspon 
dants (BC, B'C'), (CA, C'A'), (AB, A'B') 
se coupent aux points A 0 B x , C t en 
ligne droite. 
Le faisceau des quatre droites (A.BCaA*), coupé par les deux 
sécantes BA 1; C'A*, nous donne 
a. C A, 
(BCaAj) = (C'B'aA t ),