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Jede Determinante höheren Ranges wechselt ihr Zeichen,
wenn zwei derselben veränderlichen Serie angehörige Indices
durchweg vertauscht werden : Mithin verschwindet jede Deter
minante höheren Ranges, wenn zwei derselben veränderlichen
Serie angehörige Indices einander gleich sind. — So z. B.
wechselt jede kubische Determinante ihr Zeichen, wenn man
2 den Seitenflächen (nicht der Grundfläche) parallele (verticale)
Schichten von Elementen untereinander vertauscht; sie ver
schwindet identisch, wenn zwei einer Seitenfläche parallele
Yerticalschichten gleich ausfallen.
Wenn dagegen zwei der ersten oder festen Serie ange
hörige Indices I, II . . . untereinander vertauscht werden, so
wechselt die Determinante ihr Zeichen, oder nicht, je nach
dem sie geraden oder ungeraden Banges ist. So z. B. wechselt
die quadratische Determinante ihr Zeichen, wenn man zwei
Horizontalreihen vertauscht, die kubische dagegen behält den
gleichen Werth, wenn man in ihr zwei horizontale Schichten
verwechselt, und sie verschwindet nicht, wenn in ihr zwei
gleiche Horizontalschichten vorhanden sind. — Denn für die
Permutationen irgend einer variabeln Serie liefert die Ver
tauschung der festen Indices, wie in der Theorie der quadra
tischen Determinanten bewiesen wird, eine aus einer unge
raden Zahl bestehende Aenderung der vorhandenen Zahl von
Derangements jeder variabeln Serie, also einen Zeichenwechsel
für jede der letzteren. Im Ganzen bewirkt daher die Ver
tauschung zweier festen Indices das Hinzutreten eines Fac
tors (—1) p - x -
Setzt man in einer Determinante n tev Ordnung und un
geraden Ranges die festen Indices sämmtlich einander gleich,
so reducirt sie sich auf eine mit 1.2.3. . . n multiplicirte
Determinante nächst niederen Ranges, in welcher eine, etwa
die erste, variabele Serie die Rolle der festen Serie über
nommen hat. So ist z. B. für I = II = III. . .
2 + (In) (II22) (III33) = 65 + (11) (22) (33).
Aus der grossen Zahl von Elementarsätzen, welche sich
als Erweiterungen analoger Theoreme von den quadratischen
