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Ueber Umkehrbarkeit der Differentiationsordnung. 
genden einige Beweise desselben in Beziehung auf die den letzteren 
zu Grunde liegenden Voraussetzungen untersuchen , wobei ich es je 
doch dahingestellt sein lasse, ob nicht andere Beweise dieses Satzes 
der Anforderung an Strenge in gleichem Grade genügen und den hier 
zur Sprache kommenden vorzuziehen sind. 
Der von Lagrange herrührende Beweis für den in der Ueber- 
schrift erwähnten Lehrsatz ist dem Vorwurfe mangelnder Strenge, 
welcher in Bezug auf eine Anzahl angeblicher Beweise dieses Satzes 
mit Recht ausgesprochen worden ist, nicht ausgesetzt, wenn die Ent 
wickelung der Differenz f(% 0 +7i,y 0 -\-h)~f(x 0 ,y 0 ) nach Potenzen von 
7¿ und 7c, auf welche dieser Beweis sich stützt, bis zu den Gliedern 
der zweiten Dimension einschliesslich fortgesetzt und die Grösse des 
nach Abzug dieser Glieder übrig bleibenden Restes mittelst eines 
bekannten, von Cauchy herrührenden Satzes geschätzt wird. 
Zu diesem Beweise ist erforderlich, ausser der Stetigkeit der Func 
tion f(x, y) selbst, die Voraussetzung der Existenz und der Stetigkeit *) 
der beiden ersten und der vier zweiten partiellen Ableitungen der 
Function f{x,y), welche wie folgt bezeichnet werden mögen: 
df{x,y) 
dx 
dx 
dx 
f h i( x >y)> 
f2,1 (*L V) i 
dy 
d fi(n>y) 
dy 
<¥ 2 (>,?/) 
dy 
= f*( x ,y): 
= f h *( x ,y), 
Entwickelt man unter Zugrundelegung dieser Voraussetzungen 
f(x 0 -\-7i, y 0 +7c) nach Potenzen von h und die einzelnen Glieder dieser 
Entwickelung nach Potenzen von 7c, so ergibt sich eine Gleichung 
von der Form 
f(x 0 +h, y 0 + 7c)-f(x 0 ,y 0 ) = f 1 (x 0 ,y 0 )h + f 2 (x 0 ,y 0 )]c + 
+ h | [f h i Oo> y 0 ) + «] h * + 2 Vo) + /3] TiJc + [f\Jx M y 0 ) + v]7c i \. 
In dieser Gleichung bezeichnen a, ß, y drei Grössen, welche dem abso 
luten Betrage nach beziehlich nicht grösser sind als die grössten 
Werthe der drei Differenzen 
fi,i y) - y 0 )> y) -fl,2 Oo> y 0 )> 
/2, y) /2,2 (^n) V(\)i 
*) Man vergleiche die Anmerkung auf den Seiten 220—221 des 74. Bandes des 
Journals für reine und angewandte Mathematik. (Siehe 'S. 177—178 dieses Bandes.)