§ 15. Ueber die Möglichkeit, die erste Yariation zu annulliren. 55 
Man kommt daher zu dem folgenden Resultat: 
Um das Problem aufzulösen, muss man die Variation 
do (I -j- JTi -(-••• -f" 0 
setzen, in welcher d 0 das Symbol einer vollständig willkürlichen 
Variation vorstellt; d. h. es sind die Variationen 
doi/i ? d 0 i/2, • • doy n 
als vollständig willkürlich und daher von einander unabhängig 
anzusehen und die g sind beliebige Constanten, die dann durch 
irgend welche Bedingungen bestimmt werden, wie z. B. in dem 
vorliegenden Problem durch die Bedingungen, dass die In 
tegrale I k die festgesetzten Werthe haben sollen. Auf diese 
Weise sind wir wieder auf die isoperimetrische Regel zurück 
gekommen. 
§ 15. Ueber die Möglichkeit, die erste Variation zu annulliren. 
Bei dem allgemeinsten Problem in § 12, also dem Lagrange- 
schen, auf welches sich bekanntlich alle diejenigen zurückführen 
lassen, in denen es sich darum handelt, ein bestimmtes Integral 
zu einem Maximum oder Minimum zu machen, haben wir ein 
Kriterium aufgestellt, um zu bestimmen, unter welchen Um 
ständen es möglich ist, die erste Variation des Integrals zu 
annulliren; wir hatten gefunden, dass eine gewisse Determinante 
von Kuli verschieden sein muss, weil u sonst die Anzahl der 
sich ergehenden Constanten im Allgemeinen nicht ausreichen 
würde, um alle Bedingungen dieses Problems zu erfüllen. Wir 
wollen jetzt das allgemeine Resultat auf die hauptsächlichsten 
speciellen Fälle anwenden. 
Nehmen wir an, es handele sich um das Problem des 
absoluten Maximums, es seien n unbekannte Funktionen vor 
handen und in F träten nur die ersten Derivirten auf. 
Alsdann lässt sich das Kriterium bez. der Möglichkeit 
des Verschwindens der ersten Variation unmittelbar aus 
dem des § 12 ahleiten, indem man m und m" gleich 
Null setzt. 
Beachtet man, dass in diesem Fall F x identisch mit F ist, 
so ergibt sich, dass die Determinante