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die mit einem Doppelstrahle Zusammenhängen. 
beiden Büschel in der Berührungsebene, die ja durch d geht, um 
die beiden weiteren Schnitte der Tangente mit gehören zu [cl\ und 
jeder dieser Büschel ergiebt sich zweimal, weil die Ebene in zwei 
Punkten tangirt. Somit ist die oben erhaltene Congruenz C 2 nicht 
die vollständige Congruenz der singulären Strahlen für diesen Com- 
plex, sondern sie wird durch die Congruenz, ebenfalls 2. Grades, der 
Tangenten von Q ergänzt, welche auf d berühren (II, Nr. 491), oder 
sorgfältiger ausgedrückt: wenn die Reihe der consingulären Complexe 
durchlaufen wird, so geht beim Durchgänge durch das doppelte Ge 
büsche [Z] die Congruenz der singulären Strahlen durch das System 
der beiden Congruenzen hindurch. Jeder Strahl der einen oder andern 
ist nur einmal singulärer Strahl; daher kann keine von ihnen doppelt 
gerechnet werden; jede von den Doppeltangenten aber ist es zweimal: 
für jeden von ihren Berührungspunkten. 
Ein jeder von den consingidären Complexen beivirlct lei dem ge- 771 
meinsamen Doppelstrahle d eine Correspondenz [2, 2] rf ; alle diese Corre 
spondenzen haben die Cuspidalelemente D und d von &, die gemein 
samen binären stationären Elemente der Complexe, zu Verzweigungs 
elementen und sind daher selbst consingidär. 
’ Die D und d sind allen Complexen gemeinsam; die Ebenen £ und 
Punkte E, die Doppelelemente der Correspondenzen, verändern sich 
von einem Complexe zum andern, und jene wie diese beschreiben eine 
Involution 4. Grades, derartig, dass jede Gruppe zu 4 Complexen ge 
hört (Nr. 602). Zu diesen Involutionen gehört, als eine Gruppe, die 
der d, bezw. der Z); die zugehörigen Complexe sind die doppelten 
Fundamental-Gewinde r i} ... jT 4 . 
Jeder von den Complexen enthält ein System @ 2) 2 von durch d 
gehenden Strahlenbüscheln ® d , deren Scheitel und Ebenen sich in 
[2, 2] rf correspondiren: ivir erhalten also ein System consingidär er @2,2 
(Nr. 606). 
Jeder durch d gehende Strahlenbüschel gehört zu 2 von diesen 
@2,2 oder zu 2 von den Complexen; und nur dann blos zu einem, 
wenn sein Scheitel oder seine Ebene eins der gemeinsamen Ver 
zweigungselemente D oder d ist (Nr. 606). Vermittelst eines dieser 
Elemente bringen wir daher den Ebenenbüschel und die Punktreihe 
d in projective Beziehung zur Reihe der consingulären Complexe und 
zu den Tangentenbüscheln von O. 
Unter den oc 1 Correspondenzen [2, 2] d befinden sich 4 Doppel- 
Projectivitäten, in denen die einen Verzweigungselemente den andern 
entsprechen (Nr. 603), unter den @2,2 also 4 Doppel-@1,1 (doppelte