Emerson, Charles 
  
APPLICATIONS OF FRACTAL ANALYTICAL TECHNIQUES IN THE ESTIMATION OF 
OPERATIONAL SCALE 
Charles W. Emerson 
Department of Geography 
Western Michigan University, USA 
charles.emerson@wmich.edu 
Dale A. Quattrochi 
National Aeronautics and Space Administration 
Global Hydrology and Climate Center 
George C. Marshall Space Flight Center, USA 
Dale.Quattrochi@msfc.nasa.gov 
KEY WORDS: Fractals, Texture, Autocorrelation, Scale, Resolution, Pattern 
ABSTRACT 
The fractal dimension of an image is a non-integer value between two and three which indicates the degree of 
complexity in the texture and shapes depicted in the image. The degree to which an image departs from a theoretical 
ideal fractal surface provides clues on how much information is altered or lost in the processes of rescaling and 
rectification. We have observed that for images of homogeneous land covers, the fractal dimension varies linearly with 
changes in resolution or pixel size over the range of past, current, and planned space-borne sensors. This relationship 
differs significantly in images of agricultural, urban, and forest land covers, with urban areas retaining the same level of 
complexity, forested areas growing smoother, and agricultural areas growing more complex as small pixels are 
aggregated into larger, mixed pixels. Images of scenes having a mixture of land covers have fractal dimensions that 
exhibit a non-linear, complex relationship to pixel size. Measuring the fractal dimension of a difference image derived 
from two images of the same area obtained on different dates showed that the fractal dimension increased steadily, then 
exhibited a sharp decrease at increasing levels of pixel aggregation. This breakpoint of the fractal dimension/resolution 
plot is related to the spatial domain or operational scale of the phenomenon exhibiting the predominant visible 
difference between the two images (in this case, mountain snow cover). Fractal analysis of image texture also has the 
potential to assist image classification, as evidenced in an examination of images of homogeneous land covers in 
Atlanta, Georgia. 
KURZFASSUNG 
Die fraktale Dimension eines Bildes ist eine Dezimalzahl zwischen zwei und drei, die den Grad in der Komplexitaet der 
Texturen und der Formen angibt, die im Bild abgebildet sind. Der Grad um den ein Bild von der theorethisch idealen 
fraktalen Oberflaeche abweicht, laesst Schluesse darauf zu, wieviel Information durch den Prozess der Reskalierung 
und Rektifikation veraendert oder verloren gegangen ist. 
Wir haben beobachtet, dass die fraktale Dimension fuer Bilder von homogenen Oberflaechenbedeckungen sowohl bei 
aelteren, heutigen und zukuenftigen Weltraum gestuetzten Scannern in Abhaengigkeit von den Veraenderungen in der 
Aufloesung oder der Pixel Groesse linear variert. Diese Relation variiert signifikant in Bildern mit landwirtschaftlicher, 
urbaner oder forstlicher Oberflaechenbedeckung. Urbane Gebiete behalten den gleichen Grad an Komplexitaet, 
waehrend forstliche Areale glatter und landwirtschaftliche Flaechen komplexer werden, wenn kleine Pixel in groessere, 
gemischte Pixel zusammengefasst werden. Bilder von Gelaende mit verschiedenen Oberflaechenbedeckungen haben 
fraktale Dimensionen, die eine nicht-lineare, komplexe Relation zur Pixel Groesse zeigen. Misst man die faktale 
Dimension eines Differenz-Bildes, welches von zwei Bildern des gleichen Gebietes mit unterschiedlichem Datum 
abstammt, dann zeigt sich, dass die fraktale Dimension zuerst stetig steigt, dann aber mit zunehmendem Grad der Pixel 
Aggregation ein scharfer Rueckgang zu beobachten ist. Dieser Extremwert im fraktalen Dimensionen- / 
Aufloesungsdiagramm steht in Zusammenhang mit der raeumlichen Dimension oder der Massstabsgroesse des 
Phaenomens, das die vorherrschende sichtbare Abweichung zwischen den beiden Bildern (in diesem Fall: 
Schneebedeckung im Gebirge) zeigt. Die fraktale Analyse von Bild-Texturen kann dazu benutzt werden, um Bilder zu 
klassifizieren. Dies wird in einer Untersuchung am Bilderen mit homogenen Landbedeckungen von Atlanta, Georgia, 
dargelegt. 
  
402 International Archives of Photogrammetry and Remote Sensing. Vol. XXXIII, Part B7. Amsterdam 2000.