Punkt- und in 
leren Gleichung 
e nter Klasse 
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se ist der Punkt. 
ist: 
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 transformirten 
Transformation 
re Richtung zu 
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+ ap? + 20m 
chsen werden 
er Gleichung 
y auch fiir alle 
dass die Coeffi- 
g verschwinden. 
ite mit ^; dann 
en multiplicirten 
it, ist zum Null 
endlich fern ist. 
S ro. Transformation der Gleichungen zweiten Grades in Punkt- und in Liniencoordinaten. 87 
6. Wenn die drei Bedingungen 1. 2? — ac — 0, 2. ed — be — 0, 3. ae — bd=0 
zugleich erfüllt sind, werden p und v unbestimmt. 
Aus den Gleichungen 4? — ac, cd = 5e folgt durch Multiplication der 
linken und rechten Seiten 2?c4 — ace. 
Ist nun weder 4 = 0, noch ¢ = 0, so ergiebt die letzte Gleichung 6d = ac, 
also folgt dann aus den ersten beiden Bedingungen die dritte. 
Ist  — 0, so folgt, dass entweder auch c — 0 oder 2 — 0; im ersten 
Falle ist dann zugleich 2. erfüllt, im andern zugleich 3.; im ersteren ist also p. 
unbestimmt und v = oo, im andern ist pw == co und v unbestimmt, 
7. Wir wollen diese besonderen Fälle zunächst ins Auge fassen, und bemerken 
noch vorher, dass, wenn à, @ und c zugleich Null sind, die Gleichung der Curve 
aufhört vom zweiten Grade zu sein. 
a) Ist  — 0, und c= 0, (und 2 zz 0), so ist die Gleichung der Curve 
  
d 
334-24554-2345, cz. 
a a a 
; : 7 a? a? 
Wir schreiben statt dessen x? + 94x "mg ch 95y up z — == 0, 
a a a a a 
wofür gesetzt werden kann 
d € d? — af 
NT Dyn e zz 
3: e t 2 vd C 2ae o 
Verschieben wir die Achsen, so dass der neue Nullpunkt die Coordinaten 
— d:a und (d2 — ay): 2ac hat, so sind die Transformationsformeln 
a d? — af 
up E poete —— s 
Tum ah l= Tey 
Setzen wir diese in die Gleichung ein, so entsteht die transformirte Gleichung 
  
2 9o y 
2. HEA Joy = 0, 
Hieraus folgt (vergl. 8 2, 10): Die Gleichung ax? -- 22x + 2ey +7 = 0 
ist die Gleichung einer Parabel; der Scheitel derselben hat die Coor- 
dinaten — d:a und (d? — af): 2ae, die Symmetrieachse ist der Ordinaten- 
achse parallel; die Curve erstreckt sich in der Richtung der positiven 
oder negativen Seite der Ordinatenachse, je nachdem e und a ungleiche 
oder gleiche Vorzeichen haben. 
b) Ist a=0, 4=0, (und ¢=0), so ist die Gleichung 
ad € y 
y? "2€ 42-9077 -—9 
Man kann hierfür schreiben: 
€ d d? — cf, 
£32 li E Ry mus 
T go 2 pe (a 2 c d > 
Verschiebt man diesmal die Coordinatenachsen so, dass der neue Ursprung 
die Coordinaten hat (2? — ¢f):2¢d und — ¢:¢, so ergiebt sich 
d 
4. y? 4 253 — 0. 
Die Gleichung cy? + 2dx + 2ey + f — 0 ist daher die Gleichung 
einer Parabel, deren Scheitel die Coordinaten (Z? — cf) :2ced und — e:c 
hat, und die sich in der Richtung der positiven oder negativen Seite 
der Abscissenachse erstreckt, je nachdem die Coefficienten Z und c 
ungleiche oder gleiche Vorzeichen haben. 
8. Sind a, 4, c von Null verschieden und ist zugleich