88 Analytische Geometrie. 
1. 52 — ac = 0, 9. cd— be = 0, also auch 3. ae — bd = 0, 
so schreibe man die Curvengleichung 
b € e 
HE EA 5S4yeo, 
und setze dann c — 2? :a, und (nach 3.) e: — 5:4; man erhült 
b b 
al = =) a 9d + f = 0, 
und nach Multiplication mit a: 
4. (ax +069)? + 2d (ax + by) + af = 0. 
Setzt man abkürzend ax + by = S, so erhält man: 
5. S? -- 24S + af = 0. 
Die linke Seite lässt sich in zwei bezüglich ,S lineare Faktoren zerlegen, die 
man durch Auflösung der quadratischen Gleichung 5. erhält. Die Wurzeln dieser 
Gleichung sind — d + y/4? — 2f und — 4 — V 4? — af, daher gilt die Identität 
S? -- 24s E af e (S -- d — y d$ — af)(S + d+ Vd? — af), 
Setzt man für S wieder ex + &y, so hat man nun 4. umgestaltet zu 
& xl VE a osi d- Ma e e 
Diese Gleichung löst sich in die beiden linearen auf: 
ax + by + ad — Va? — af = 0, 
8. ax + by + d + Yd? —af = 0. 
Ist also 2? — ac — 0, cd — be — 0, und ae — bd = 0, so stellt die 
Gleichung ax? + 25xy + cy? + 2dx + 2¢y + fF = 0 zwei parallele 
Gerade dar, welche die Gleichungen haben: 
ax + by + d —- y4? —af mz 0, 
ax + by + d + yd? —af — 0. 
Ist d? — af < 0, so sind diese Geraden conjugirt complex; ist 
d? — af — 0, so fallen sie in eine Gerade ax + Py -- d — 0, und die 
linke Seite der Curvengleichung ist die zweite Potenz der linearen 
Function ax + by + d; ist d? — af > 0, so sind die Geraden real und 
von einander verschieden. 
=~ 
9. Ist 62 — ac — 0, und cd — be, sowie ae — bd von Null verschieden, 
so multipliciren wir die Curvengleichung 
1 ax? + 20xy + cy? + 2dx + Bey + f= 0 
zunächst mit @ und ersetzen dann ac durch ó?; wir erhalten dann 
a?x? + 2abxy + 6%y? + 2adx + 2acy + af zz 0, oder 
2. (ax + 69)? + 2adx + 2aey + af = 0. 
Es liegt nun nahe, nach einer solchen Drehung des Coordinatensystems zu 
suchen, durch welche der Klammerinhalt ax + 6y durch ein Vielfaches einer 
Coordinate allein ersetzt wird, z. B. durch ein Vielfaches von X'. Aus den für 
eine Drehung des Systems geltenden Formeln 8 9, No. 4 
X = c0$0 X' — sin y 
y = sine X + cos w y' 
folgt ax + by = (acesw + bsin o) x! -- (asin w — bcos (9) y". 
Soll dies nur ein Vielfaches von x' sein, so muss der Coefficient von y 
verschwinden; man hat also fiir w die Bedingung 
€) 
9. asin w — bcosw = 0. 
Setzt man den hieraus folgenden Werth szm« — bcosw:a in die Gleichung 
cos? © + sin? w = ] ein, so erhält man 
      
     
     
    
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
   
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
   
   
  
  
  
   
  
   
    
   
    
   
  
810. ' 
4. 
Da 
so könne 
werde. 1 
ax 
Fern 
2a 
Hier 
Qa 
Die 
Y'-Achse 
c 
Die 
x! und y 
m 
Ce 
Man 
* 
Hie: 
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9. J 
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schiede 
Gleichi 
bildet, 
=, 
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positiv 
je nach 
Ist 
entwede 
oder ein 
10. 
endliche 
des Coc 
wobei