Analytische Geometrie. 
Setzt man x = zce0$9, y — rsin ©, SO findet sich 
7? (a c0s? o -- 20 cos o sing + csin?q) + f = 0, 
also eine Gleichung für z, die für jeden Werth von © rein quadratisch ist und 
daher für jedes o zwei entgegengesetzt gleiche Werthe für z liefert. Jede durch 
den Ursprung des neuen Systems gehende Curvensehne wird also im Ursprunge 
halbirt. Der Ursprung des neuen Systems ist daher der Mittelpunkt der Curve. 
1l. Der Ausdruck /' vereinfacht sich erheblich; wenn man ihn schreibt 
F = (ap + dv +d)p + (Bu +c9+ 0) v + dw + ev + f= 0, 
und bedenkt, dass (No. 4, 1) ap + dv + d = 0, bp + cv + € = 0, so 
erhält man zunächst f' = dw + ev + f; hieraus folgt schliesslich 
; ae? + cd? —2bde + (82 — ac) f 
£ = 0? — ac : 
Den Zähler ae? + cd? — 2bde + (52 — ac) f wollen wir mit y bezeichnen, 
den Nenner 42 — ac mit 8, so dass nun f' — 4:6. 
12. Ist 4—0, soist auch /' —0 und die transformirte Gleichung wird homogen: 
  
1. ax? -- 95x'y! -- cy? = 0. 
I9 b ! 
Aus derselben folgt (5) + 2—- = d em 0, 
y a y a 
x b l] loe 
ee ep MIS 
also y 273 y^ ac. 
Die linke Seite von 1. zerfällt daher in zwei lineare Faktoren; nach 
Multiplication mit 2 ergiebt sich aus 1.: 
2 [ax' + (6— VO? + ac)y]lax' + (5 + y 3 — ac) y; = 0 
Die Gleichung zerfällt daher in die beiden linearen Gleichungen 
3. ax! -- (b— y23 — ac) y' — 0, 
ax' + (b 4- V9? — ac) y = 0. 
Ist also 63 — ac von Null verschieden und y = 0, so ist 
ax? + 26xy + cy? + 2dx + 2ey -- f. —- 0 
‚die Gleichung des Vereins zweier sich schneidenden Geraden; der 
Schnittpunkt hat die Coordinaten p — (cd — be):3, v = (ae — 0d):: 5 
und die Gleichungen der Geraden sind (wie man aus 3. und 4. findet) 
5. ax + (b— V6 — ac) y + d + (ae — bd): Yo? —ac = 0, 
6. ax + (b— 5? —ac)y + d — (ae — bd) : Y6? — ac = 0. 
Ist 2? — ac > 0, so sind diese Geraden real, ist 52 — ac < 0, so 
sind sie conjugirt complex. 
13. Ist y von Null verschieden, so suchen wir die Gleichung 
ax? + 25xy'" + ey? + fF' = 0 
durch Drehung des Coordinatensystems um den Nullpunkt weiter zu vereinfachen 
Werden die Coordinaten im neuen System durch Ë, n bezeichnet, so ist 
x! = cosw-E — sine -n, 
y = sinu.E + cosw-n, 
also: xt > cos? wf? —  9cos o sino «En + sin? 0 -n? 
xy = coswsinwE? + (cos? w — sin? w) - En — cos « sin w + n° 
vai = sin? wg? + 2coswsinw En + cos?w-n°. 
Wir erhalten eine Gleichung von der Form g&2? + 2h87 + An? +f' = 0, wenn 
£ — ac0s? o -- 95cos v sin -- csin? o, 
| 
A — 40$ « sin € + b(cos? w— sin? w) + ccoswsinw, 
k= asin? 0 — 2bcosw sinw + c€ cos? w, 
© N ER 
      
  
  
   
  
   
  
  
  
  
     
   
   
  
   
     
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
    
    
   
   
   
    
  
    
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