isch ist und 
Jede durch 
ı Ursprunge 
t der Curve. 
schreibt 
— 0, 
e== 0, so 
bezeichnen, 
homogen: 
ren; nach 
aden; der 
e — bd):à 
. findet) 
| ) 
rw, SO 
»reinfachen 
ist 
= 0, wenn 
8 10. Transformation der Gleichungen zweiten Grades in Punkt- und in Liniencoordinaten. — 9I 
Wir wollen nun den Winkel o so wählen, dass der Coefficient 4 verschwindet, 
also gemäss der Gleichung à (cos? w — sin® ©) — (a — ¢) cos sit e — 0. 
Hieraus folgt, wenn wir cos? © — sin? w durch cos 2w, und cos © sin» durch 
{sin2w ersetzen: bcos 20 — 3 (a — c) sin Qw = 0, also: 
26 
4. fang 2w = et 
Dieser Gleichung genügen unzählige Winkel 2w; einer derselben liegt inner- 
halb — 90° und + 90°, die anderen sind von diesem um ganze Vielfache von 180° 
verschieden. Da es nur darauf ankommt, einen Winkel zu haben, der der 
Gleichung 4. genügt, so wollen wir den auswählen, der zwischen — 90° und 
-- 90? liegt, so dass cos 2«w positiv ist. 
Für die Coefficienten g und £ kann man zunáchst schreiben 
  
  
  
  
  
g = ac052 € A bsin2e + c sin? w, 
k = asin?w — bsin2w + c cos? w. 
Hieraus folgen die Gleichungen: 
5. g+h=4—+C, 
6. g—h= (a—0)cos2w + 26 sin Zw. 
Aus 6. folgt: 
(a — c) cos Zw - sin Zu + 2b sin? 26 
po —— L — T . 
S Sin 2w 
Nun ist nach 4. (a — ©) sin 20 = 206 cos 2w, also wird 
20 cos?20w + 26 sin? 2w 20 
$A sin 2w 7 SU Oe 
> ; ; lang 20 - 
Ferner ist $4 9« — ———————— , und nach 4. 
V1 + ang? 20 
1 te ITS 
V1 + tang? 20 = sm Va? + c2 —2ac + 40? 
1 ei ui Eae 
eu yc is. 
& —€ 
Daher hat man 
T. g — k = V(a+ 0)? + 43. 
Aus dieser Gleichung und aus 5. erhält man nun die Coefficienten 
8 g = b(e + c y(a-- e? + 45) 
9. k = 4(a + € — Va +09? + 45). 
Die Gleichung der Curve können wir nun schreiben 
p. Á tí 
4 UR rca miis c — E Le 
p* p 1 = 0, oder, da / 3 
10. RC ra 4- zo n? — 1l = 0. 
Y T 
14. Wir haben nun zu untersuchen, unter welchen Bedingungen die Coeffici- 
enten von £? und x? positiv oder negativ sind. 
Ohne Beschrünkung der Allgemeinheit kónnen wir voraussetzen, dass a 
positiv ist. 
A. Ist 8 = 0? — ac negativ, so muss c positiv sein; die Grösse 
y(a-4-c)? 4-48, die nach der über o gemachten Voraussetzung positiv zu 
rechnen ist, ist dann kleiner als @ -+ c, mithin sind g und % positiv. 
a) Ist nun y positiv, so sind die Quotienten — 20) :y und (— £5) : 
beide positiv, und wir kónnen setzen