1 — £g 1 — £6 1 
p m qe 
Die Curvengleichung wird dann: 
£2 2 
= N 
a amis 
die Curve ist also eine Ellipse mit den Halbachsen « und p. 
b) Ist hingegen 1 negativ, so sind die Quotienten (— $9) : * und (— £8) : 7 
: : . ; — £8 — £9 : 
beide negativ; die Gleichung —— £2. .- s "n? — 1 == 0 ist dann für reale 
Y 
Werthe von & und n nicht erfüllbar. Man kann formal die Gleichung mit 2. in 
Uebereinstimmung bringen, nur dass «2? und 8? negative, a und B also imaginäre 
Werthe haben müssen, und bezeichnet sie demgemäss als die Gleichung einer 
imaginären Ellipse, von der man dann sagen kann, dass sie zwar keinen 
realen Peripheriepunkt habe, dass aber doch ihr Mittelpunkt real sei; auf jedem 
durch diesen realen Mittelpunkt gezogenen Strahl (Diameter) liegen zwei conjugirt 
complexe Punkte der imaginären Ellipse. 
B. Ist à = 52 — ac positiv, so ist V (@ + 6)? + 48 grósser als der absolute 
Werth von a 4- c; also ist & positiv und 4 negativ. 
Ist nun t negativ, so sind die Quotienten (— £95 :320, (—485):1- 90. 
Ist hingegen y positiv, so hat man (— 2:7 = 0, (—428): 1 > 0. 
  
Im ersten Falle kann man setzen (—gö):y=1:02, (— 28) :7=—11:8ß?; 
m andern Falle: (—g8):7=-—1:0?, (— Re): = 1:62 
Die Curvengleichung wird also 
A 
; ; En s 
im ersten Falle: —3 cy cl 0; 
n^ 2 
i 
En? 
. x > | 
im andern Falle: — i = — 1= 0. 
a? 2 
Die Curve ist in beiden Fillen eine Hyperbel; im ersten Falle liegt ihre 
Hauptachse auf der Abscissenachse, im andern auf der Ordinatenachse. 
15. Wir fassen die Ergebnisse dieser Untersuchungen iibersichtlich zusammen. 
Die Gleichung F = ax? + 2bxy + cy? + 2dx + 2ey + f = 0 stellt 
eine Gerade, zwei parallele Gerade, eine Parabel, zwei sich schneidende Gerade, 
eine Ellipse oder eine Hyperbel dar. 
A. a) Ist 0 — 0, ¢ = 0, die anderen Coefficienten von Null verschieden, so 
ist //=0 die Gleichung einer Parabel, deren Scheitel die Coordinaten 
d d? — af 
— — und —z——- 
a 2ae 
hat, deren Achse der Ordinatenachse parallel und deren Parameter = ¢: a 
ist; die Curve erstreckt sich entlang der positiven oder negativen Seite der 
Ordinatenachse, je nachdem e und a ungleiche oder gleiche Vorzeichen haben. 
b) Ist 2 — 0, à — 0, die anderen Coefficienten von Null verschieden, so ist 
£ —0 die Gleichung einer Parabel, deren Scheitel die Coordinaten 
d? —¢ 
Pg 
hat, deren Achse der Abscissenachse parallel und deren Parameter + 4:c 
undo 
¢ 
ist; die Curve erstreckt sich entlang der positiven oder negativen Seite der 
Abscissenachse, je nachdem und c ungleiche oder gleiche Vorzeichen haben. 
B. Sind @, 4, ¢ von Null verschieden und ist zugleich à = 52? — ac = 0, 
ed — be — 0, also auch ae — bd = 0, so ist a F = 0 das Produkt der Gleichungen 
der beiden parallelen Geraden: 
    
  
     
  
  
  
  
     
   
  
  
   
  
  
  
   
  
  
    
   
   
     
  
  
    
   
    
    
    
  
     
   
    
     
  
Ist 7 
sie in eii 
d? — af : 
CS 
ae— 0d = 
ist der G 
cos Y 
und die 
Geraden ( 
des Paral 
x 
y = 
Der | 
Da] 
so zerfällt 
Gerader 
Diese 
oder nes 
ye (ae 
E. 1 
Ellipse. 
eine Hal 
und bild 
Winkel « 
Die 
negativ c 
F. 1 
Hyperb 
ihre Hau 
liegender 
Winkel,