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8 10. Transformation der Gleichungen zweiten Grades in Punkt- und Liniencoordinaten. 
ax + by + d— V4? —af — 
ax + by + d + Yd? —af = 0. 
Ist 42 — af < 0, so sind sie conjugirt complex; ist 42 — af = 0, so fallen 
sie in eine Gerade zusammen, deren Gleichung ist ax + by + & = 0; ist 
d? — af > 0, so sind die beiden Parallelen real und von einander verschieden. 
C. Sind a, 2, c von Null verschieden, und à = 5? — ac = 0, cd — be ze 0, 
ae— bd Z» 0, so ist Z — 0 die Gleichung einer Parabel; die Achse derselben 
ist der Geraden O Y' Em für welche 
  
  
  
  
es YOY =~ ; _, ang YOY = 2, 
vo vem 
und die Curve erstreckt T i entlang der positiven T negativen Hälfte der 
Geraden O Y', je nachdem a(ae — bd) negativ oder positiv ist. Die Coordinaten 
des Parabelscheitels sind 
(a? -- 02)? bf. — a(ad -- be) (e (a? -- 0?) -- a (ae — d)) 
E sin YVOY —= 
  
  
2(a? + 22)? (ae — bd) 
__ — (a? + 6°)? af + a(ad+ be) (d(a? 4 02) = Sloe —~ BAY) 
Fo (at + 52)? (ae — bd) 
— 0d 
Der Parameter stimmt dem absoluten Werthe nach mit e 29 überein. 
T 
D. Ist 6 22 2? — ac von Null verschieden und ve 
y = ae? + cd? — 2bde + (8? — ac) f = 0, 
so zerfällt e 7 in zwei lineare Faktoren; die Curve 7] — 0 zerfállt in die beiden 
Geraden: ax + (b— Vi? — ac) y + d + (ae— bd): VO? — ac = 0, 
ax -- (b4- V2? — ac) y + d — (ae — àd): y?? —ac — 0. 
Diese Geraden sind real oder conjugirt complex, je nachdem 2? — ac positiv 
oder negativ ist; ihr Schnittpunkt hat die Coordinaten x = (cd — be): 5, 
y= (ae— öd):5ö, und ist in jedem Falle real. 
E. Ist 2472» 0, 47 — ac < 0 und y @ 0, s0 ist Z7 —0 die Gleichung einer 
Ellipse. Das Centrum derselben hat die Coordinaten 
Xm (ed—56):0, y= (ae — 64): 
eine Halbachse hat die Lánge 
— 9(ae? 4- cd? — 25de -- 87) 
a — Free D ETES IL DR 
à (a + c + YV(a + c)? + 43) 
und bildet mit der Abscissenachse einen zwischen — 45° und + 45° liegenden 
9 
Winkel w, für welchen Zang 20 = ert die andere Halbachse hat die Länge 
8 2(ae? + cd? — 2bde + àf) 
t a+ ce Vlatot + 45) 
Die Ellipse ist real oder imaginär, je nachdem der Zähler im Radicanden 
eo» 
  
  
negativ oder positiv ist. 
FE. Ito 0, P .——2a672- 0 und 1 z^ 0, so ist Z7 — 0 die Gleichung einer 
Hyperbel Je nachdem 7 == ae? + cd? — 2öde + (6? — ac) f, zz 0, bildet 
ihre Hauptachse entweder mit der Abscissenachse den zwischen — 45° und + 45° 
: . 26 : 
liegenden Winkel, für welchen fang 2w = Ty oder einen um 90° grosseren 
Winkel, 
  
  
ES NS 2