Im ersten Falle ist
die. halbe Hauptachse:
E 2 (ae? + cd? — 2bde + à f)
emf Ray
Q(ac!? 40d? —25de -- 8/7
ere is)
die halbe Nebenachse: 8 =
Im andern Falle ist
die halbe Hauptachse: 8 = y-
2(ae? + cd? — 2bdc + 8 f)
à (a + c — Va +0? — 45)
U(aet + cd? — Qhde + à f)
0(a4- c -- V(a- e — 43)
die halbe Nebenachse: « —
16. Wir wenden uns nun zur Transformation der Gleichung zweiten
Grades in Liniencoordinaten
Q — az? 4- 202v 4- 19? 4- 20u -- 2:9 -- x — 0.
Wenn in der Gleichung einer Curve in Punktcoordinaten das von verdnder-
lichen Faktoren freie letzte Glied der linken Seite verschwindet, so wird der
Gleichung durch die Coordinaten x — 0, y — 0 genügt; das Verschwinden dieses
Gliedes bedeutet also , dass der Nullpunkt auf der Curve liegt, sagt aber für die
Gestalt der Curve Nichts aus. Ganz andere Bedeutung hat es, wenn das von
veründerlichen Faktoren freie letzte Glied der linken Seite in einer Curvengleichung
für Liniencoordinaten gleich Null ist. Dann wird der Curvengleichung durch
4 —0, v— 0 genügt, und diese Coordinaten gehóren einer unendlich fernen
Geraden der Ebene an, da z und v die Werthe 1: OS, und i: OS, haben,
ihr Verschwinden also unendlich grosse Werthe von OS, und OS, bedingt.
Bei unserer Coordinatenbestimmung ist nur für dies eine Coordinatenpaar
4 -—7--0 die zugehôrige Gerade unendlich fern; übertragen wir die Aussage,
dass für endliche Coordinatenwerthe zu jedem Paar Werthe von # und v nur
eine Gerade gehört, auch auf den Grenzfall # = v = 0, so haben wir nicht von
mehreren, sondern nur von einer unendlich fernen Geraden zu sprechen.
Wir finden daher: Wenn das von veränderlichen Faktoren freie
Glied auf der linken Seite der Gleichung einer Curve in Linien-
coordinaten gleich Null ist, so wird die Curve von der unendlich
fernen Geraden berührt.
17. Wir betrachten zunáchst den Fall, dass x = 0, also die Curve ® = 0
keine unendlich ferne Tangente hat.
Wir transformiren zunáchst die Gleichung durch Verschiebung des
Coordinatensystems.
Sind p, v die Coordinaten des Nullpunktes des neuen Systems, so sind be-
kanntlich die Transformationsformeln:
! !
u“ U
Ca war fer Xu
Also hat man dietransformirte Gleichung nach Multiplication mit (1-1 pz! 4- v2)? :
1l. au'? 4- 282 v' + 1o'? -- 2(8u'-- ev) (1 2- pu 2 v9) 4- x (1 + pm! m v7)? —0
oder geordnet:
2. (a 4- 280p 4 xp?) #'? + 2(8 + ep + dy + xpy)u'o' + (y + 2ev 7 xy2)v'?
+ 2(0+ xp) #' + 2 (€ + xy) 0° + x = 0.
Wir wollen nun das neue System so wählen, dass die Coefficienten von #'
und 2' in der transformirten Gleichung verschwinden, dass also
3. ó--xpz0, € + XV =
810. Tr:
Dies ti
Führt r
C
Die tr:
8. |
18. Le
und bezeic
Geraden 7
auf den A
hat 7 die
Setzt I
man nach
(ax —
Diese
gesetzt gle
(— e) : x
parallele
19. W
systems 5
Ist de
die Linien
Transform:
1.
Mithin
Schrei
3.
und setzt
pus
Wir w
7.
8.
oder, wen
9.
