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8 10. Transformation der Gleichungen zweiten Grades in Punkt- und in Liniencoordinaten. 95 
Dies tritt ein, wenn 
  
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Führt man diese Werthe in die Coefficienten der Gleichung 2. ein, so erhált man 
3 = ar — 0? 
5. a + 20p + xp? = fm) 
x — O¢ 
6. B+ op + By + apy = ET 
5 1* — s? 
7. y + 2ev + xv UTE. 
Die transformirte Gleichung wird daher nach Multiplication mit x zu: 
8. (ax — 82) z? -- 2 (Bx — 8e) v v' 4- (qx — e?) 9? -- x? — 0. 
18. Legt man durch den Nullpunkt eine Normale AN zu einer Geraden 7, 
und bezeichnet den Winkel XO/V mit ¢, und die vom Nullpunkte bis zur 
Geraden 7 reichende Strecke mit z, so ist, wenn ,$, und ,S, die Spuren von 7° 
auf den Achsen sind, bekanntlich OS, = 7:cosg, OS, = r:sing, mithin 
hat 7° die Coordinaten x — cosp:r, © = simg:r. 
Setzt man diese Werthe in die Gleichung 8. der vorigen Nummer, so erhält 
man nach Multiplication mit 7?: 
(ux — 6?) cos? q + 2 (Bx — de) cosq sine + (1% — e?) sin? + x?r? = 0. 
Diese Gleichung ist rein quadratisch für z, liefert also für 7 zwei entgegen- 
gesetzt gleiche Werthe. Der Punkt mit den Coordinaten (— 8):x und 
(— e): x hat also die Eigenschaft, dass er den Abstand je zweier 
parallelen Tangenten der Curve balbirt. 
19. Wir suchen nun die Gleichung durch Drehung des Coordinaten- 
systems weiter zu vereinfachen. 
Ist der Winkel der Achse OX' und der neuen Abscissenachse o, und werden 
die Liniencoordinaten im neuen System mit U, VJ bezeichnet, so hat man die 
Transformationsformeln (8 9, 7). 
1 # = cosu-U—sino-V 
= v! — sino- U+coswo-V. 
Mithin 42 — cos? « U? — 9 cos o sin e UV + sin? o V? 
2. uy = coswsinw U? -- (cos? o — sin? e) UT — sin cos e V? 
v? — sin? o U? 4- 9 sin o cos o UV + cos? o V? . 
Schreibt man für die letzte Gleichung in No. 17 abkürzungsweise 
3. a! u!? -- 90 u'o' -- qv? M x? —0 
und setzt nun die Werthe 9. ein, so erhàlt man die transformirte Gleichung 
pU? -.- 99U V -- «V? -- x? —0, wenn 
4. p — a cos? w + 2p' cos w sino + 7 sin? 0 
5. c — — d cos» sinw + B' (cos? u — sin? w) + 1 cos w sin © 
6. v — a sin? 0 — 2B’ cos e sin e + 7 cos? w. 
Wir wählen nun w so, dass @ verschwindet, also dass 
— a' cos w sin w + ( (cos? « — sin? w) +1 cos u sin u = 0, oder 
1: l(u'—4)sin2wo — f' cos20, also 
! 
8. lang 2« — rr ; 
"mm 
oder, wenn man für a', y', B' die Werthe einsetzt: 
9. m mA Ua