Winkel, der 
° liegt und 
ungen 
aie 
— de)2|. 
ch Division 
lurch reale 
da p — = 
lle 
on in 14. 
p noch T, 
A 
8 10. Transformation der Gleichungen zweiten Grades in Punkt- und in Liniencoordinaten. 07 
Ist:Q 7. — o'3' 20, und e'--1 «0, so dst orm, Tem cen. 
Die Curvengleichung wird in dem einen Falle: (a' +7) U? + x? = 0 und 
kann, da beide Glieder der linken Seite positiv sind, durch reale Gerade nicht 
befriedigt werden; man erhält aus ihr die imaginären Werthe 
x 
Y TOS 
also zwei imaginüre Punkte der neuen Abscissenachse, vom Nullpunkte des neuen 
Systems um -E y. — (a! 4- 1) : x entfernt. 
]. U= 
Im andern Falle hat man (a' + 7) 2 + x2 = 0 und kann setzen 
(a! 4-1) — — ?, so dass die Gleichung entsteht: 2? /? — x? — 0, aus welcher folgt: 
9. V. 
b 
Die Curve zerfüllt daher in zwei reale, auf der neuen Ordinatenachse gelegene 
Punkte. 
21. Ist x = 0, die Curvengleichung somit 
i. au? + 28uv + (0? + 20u + 2ev = 0, 
so suchen wir zunächst durch Drehung des Coordinatensystems die Gleichung 
zu vereinfachen. Die Transformationsformeln 
U = COSsw-U — sino-v, V — inw-u' + cosw -v' ergeben: 
u? = cos?« - u! — 9eos e sino - u'v' 4- sin? e - v', 
uv = cosw - sinw - u'? + (cos? w — sin? o) u'v' — cose sine « v'?, 
v0? — sin?«w-u? --9sinocoso- uv! -- cos?w - v'?. 
Daher hat man die transformirte Gleichung: 
(a cos? w + 2B cosw sinw + (sino) #'? — 2 ([a — 7) sin e co$ o — B cos2w) ^v 
9. + (a sin? 0 — 2Bcoso sine + cos?) v'? -- 2 (8cosc + esin o) w 
— 92 (ösinw — &cose) v' — 0. 
Wir wählen nun e so, dass der Coefficient von v' verschwindet, also gemäss 
der Gleichung 8sinw — ecosw = 0, welche ergiebt 
9 > 
9. tang w = 3 
Wir nehmen den dieser Gleichung entsprechenden Winkel, für welchen 
Ô : e 
4. : CoS — yere same — Ye +o , 
die Wurzel positiv gerechnet. 
Setzen wir diese Werthe in die Gleichung 2. , so wird dieselbe zu: 
5. a'u'? — 90'u'v' + q'v'? + d'a! = 0, 
wo die Coefficienten die Werthe haben: 
1 ; 
a' = acos?w + 2Bcoswsinow + (sin? e — TD (a8? + 28de + Ye”) 
: 1 
6 B' == (a — ) cos « size — Q (cos? u — sin? w) = Su [(«—7) 58 + 8 (e? — 9?)] 
; 1. 
1 = asin? w — 2 Bcosw sine + (005? e = uo (xs? — 280e + 76?) 
Sy 
99. Hierauf verschieben wir die Coordinatenachsen, so dass der Nullpunkt 
des neuen Systems die Coordinaten p, v hat. Bezeichnen U, V die Coordinaten 
im neuen Systeme, so haben wir die Transformationsformeln 
U ; V 
Taal. Tall 
ScuLoEMiLCH, Handbuch der Mathematik. Bd. IL. 1 
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