98 Analytische Geometrie. 
also die transformirte Gleichung, nach Multiplication mit (1 + p U + v V)? 
a — TV +4'V2 +28 A+ pU+vV)U=0, 
oder geordnet 
1. (a' + 98'y) U? — 9 (9! — 9) UV -- YV? + QU = 0. 
Wir wühlen nun den Nullpunkt des neuen Systems so, dass die Coefficienten 
von U? und UV verschwinden, haben also für p und v die Gleichungen: 
a' + 95 umm, | 99v 0, 
aus denen die Werthe folgen: 
a! B' 
2. p. = — 383 aol? = FL 
Diese Transformation ist nur dann nicht möglich, wenn 6ó'— 0, und dies 
kann nach den Formeln 6. in No. 21 nur eintreten, wenn e und 6 zugleich Null 
sind. Diesen besonderen Fall werden wir am Schlusse betrachten. 
Setzt man aus No. 21, 6. die Werthe ein, so hat man 
  
  
> on? Be yet ame? zy. 
9. pum Bay pear: r= oY y59 p 
Die Gleichung 1. geht nun über in 
4. (us? — 988e -- 32) - V? 4- 9 ye? -- 03* - U — 0. 
Dies ist (8 4, No. 3) die Gleichung einer Parabel mit dem Parameter 
ac? — 2B0e + 19? 
  
  
jet ue 
62 + 8?" 
23. Ist x = e = 0 — 0, so reducirt sich die Curvengleichung auf: 
l. au? + 28uv + 17? — 0. 
Die linke Seite zerfällt nach Multiplication mit « in die beiden linearen 
Faktoren az -- (B— y 8? —aj) v und ax +(8+ V8? —ay)o, die Curven- 
gleichung zerfällt also in die linearen Gleichungen 
9. az -4-(— y — ap) > —0, 
3. au + (B+ VBE — apo = 0. 
Dies sind die Gleichungen zweier unendlich fernen Punkte (§ 4, No. 2); 
ist 32 — a7 > 0, so sind dieselben real und verschieden; ist 32 — ay = 0, so 
sind sie real und fallen zusammen; ist 32 — ay << 0, so sind sie conjugirt complex. 
24. Wir fassen die Ergebrisse der Untersuchung der Gleichung ® = 0 noch- 
mals zusammen: 
A. Ist in der Gleichung  — az? 4- 20uv + 10? + 200 + 280 + x = 0 
dıe Zahl x von Null verschieden, und haben die Grössen 
p = 4 [(a + y) x — 32 — e? + V((a — 4) x — 82 + e2)? 4- A (Bx — de)2] 
= i [(a--)x—8* — €? — V((a — 1) x — 83 -- £2)? + 4 (Bx — de)?] 
sietches SOR Chen, so ist die Curve 0 — 0 eine Ellipse; der Mittelpunkt hat 
die Coordinaten x = — 0:x, y — — s: x, oder die Gleichung àz -F £2 -- x — 0; 
die Halbachsen haben die Längen a — = 0:X, 0 Y x SN 
Der Winkel o der Abscissenachse mit der ersteren Halbachse ist der zwischen 
-- 45? und — 45? enthaltene Winkel, der der Gleichung genügt: 
ang Su = > 20 AEA e y 
(a — y) x — 8? -- e?" 
Sind p und « negativ, so ist die Ellipse real; sind p und « positiv, so ist 
die Ellipse imaginár; der Mittelpunkt ist in jedem Falle real. 
B. Ist x von Null verschieden und o positiv, « negativ, so ist die Curve 
® = 0 eine Hyperbel. Der Mittelpunkt hat die Coordinaten x — — 0:x, 
  
  
d 
  
  
  
S811. Best 
— — £ 
der Winkel 
+ 45° enth: 
a) 
Punkte; di 
Abscissenac 
b) Ist ¢ 
Geraden di 
beiden Pun! 
der Transfo 
(—Y— 4 
-y-ka 
D. Ist 
Parabel. 
Die Co: 
der Transfc 
Der Pa 
die Parabel 
sich entlan 
as? — 280s 
T Ist 
unendlich 
Je nacl 
(Richtunger 
25. Wi 
und den Pi 
Eigen 
wie wir g 
8 11. Bes 
1. Die 
enthält secl 
verlangt, d: 
Coefficiente