Analytische Geometrie. 
Durch einen Punkt einer Curve zweiten Grades ist also eine homogene 
lineare Gleichung zwischen den sechs Constanten der Curvengleichung gegeben. 
Durch fünf homogene lineare, von einander unabhängige Gleichungen sind 
die Verhältnisse der sechs Constanten a: 6:c:d:e:f eindeutig bestimmt; da 
nun die geometrische Bedeutung der Gleichung # = 0 nicht von den Einzel- 
werthen der Coefficienten a ... /, sondern nur von ihren Verhältnissen abhängt, 
so folgt: Eine Curve zweiter Ordnung ist durch fünf Punkte bestimmt. 
2. Um die Gleichung einer Curve zweiten Grades herzustellen, die durch 
fünf gegebene Punkte geht, bemerken wir zunächst, dass diese Gleichung nichts 
anderes sein kann, als die Bedingung dafür, dass der Punkt Pauf der durch die 
fünf gegebenen Punkte bestimmten Curve zweiten Grades liegt. Sind x,y,, X$y», 
X374, Katar Katz die Coordinaten dieser fünf Punkte, a, 4, c, 4, e, f die Con- 
stanten der durch sie gehenden Curve zweiten Grades, so gelten die fünfGleichungen: 
ax? + 20x, yı + cyl + 2d4dx, + 2ey4, + / = 0, 
ax) + 2hxa)a + cv + dx, + 2ey, + / = 0, 
axd + 20x3y3 + Cya + 2dx; + 2¢y3 + f = 0, 
ans + 255,44 + vy? + 2dx, + 2ey, + f= 0, 
and + 20x39, + yf + 2dx, + Bey, + 7 = 0. 
Soll nun auch der Punkt P auf derselben Curve liegen, so kommt die sechste 
Gleichung hinzu ax? + 26xy + cy? + 2dx + 2ey + f = 0. 
Die Bedingung für das Zusammenbestehen dieser sechs, für a, à, e, d, e, f 
homogenen linearen Gleichungen ist das Verschwinden ihrer Determinante: 
x2. y2. Xy xy | 
xS oy) XQ X4 JA | 
Xy ^ Ya Xaya % Ja | 
xf a Kata Xa Js 
2d xf os: ww 5 
x2 VS Mate, Ma Jg 
40 
| 
0. 
E MS RM jones RE 
ER 
Dies ist die gesuchte Gleichung, die in der That, wie man sieht, zweiten 
Grades für x und y 1st. 
3. Die Gleichung einer Curve zweiter Klasse 
Q — au? + 28uv — 0? + 20u + 2:v + x = 0 
enthält sechs Constante a, 8, 1, 9, s, x, durch deren Verhältnisse die Curve be: 
b 
  
stimmt ist. 
Ist eine Tangente Z' (z,v,) der Curve gegeben, so haben die Constanten 
der Gleichung zu genügen: 
aus + 28u,0, + 17% + 204, + 289, + x = 0. 
Dies ist eine homogene lineare Gleichung. Durch fünf solcher Gleichungen 
sind die Verhältnisse «:0:1:0:« bestimmt; wir schliessen daher: Eine 
Curve zweiter Klasse ist durch fünf Tangenten bestimmt. 
Da wir im vorigen Paragraphen gefunden haben, dass die eigentlichen Curven 
zweiten Grades zugleich auch zweiter Klasse sind, und umgekehrt, so haben wir 
für diese Curven nicht mehr nöthig, den Unterschied des Grades und der Klasse 
zu erwähnen und bezeichnen sie als Curven zweiter Ordnung. Wenn die 
Bezeichnung »zweiten Grades« oder »zweiter Klasse« noch gebraucht wird, so 
soll sie nur die Bedeutung haben, dass bei dieser Gelegenheit von der Gleichung 
der Curve zweiter Ordnung in Punktcoordinaten, bez. in Liniencoordinaten aus- 
© 
regangen wird. 
ovc 
Wir fassen die Ergebnisse von No. 1 und 3 daher in den Satz zusammen: 
    
  
  
   
  
   
   
  
    
  
  
  
  
   
  
   
  
    
  
  
  
   
    
    
  
  
  
  
  
  
  
   
    
   
   
  
  
  
  
   
    
  
   
   
   
   
  
  
   
8 r1. Besti: 
Eine Curv 
Tangente: 
4. Sinc 
und o, 3, 7 
die fünf Gl 
Soll au 
Der V 
linearen Gl 
Dies 1s 
5. Die 
Diese 
durch vier 
7, vier go 
Parabeltang 
Aus d 
Determinar 
Dies 1: 
zu Tangen 
Durc 
6. So 
die sechs 
vier Gleicl