homogene 
z gegeben. 
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an abhängt, 
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eichungen: 
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6 d, 6 Á 
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i£, zweiten 
Curve be- 
_onstanten 
leichungen 
er: Eine 
en Curven 
haben wir 
der Klasse 
Wenn die 
t wird, so 
Gleichung 
naten aus- 
;usammen: 
811. Bestimmung einer Curve zweiten Grades durch fünf Punkte und durch fünf Tangenten. —1or 
Eine Curve zweiter Ordnung ist durch fünf Punkte oder durch fünf 
Tangenten eindeutig bestimmt. 
4 Sind Z,, Ty 7,, 74, T, fünf Tangenten einer Curve zweiter Klasse, 
und @ 3, 15,95 € die Coefficienten ihrer Gleichung, so bestehen für dieselben 
die fünf Gleichungen: 
au + Pwo, + wd + Bu, + Ne, + + = 0, 
auf + 2Buv; + wf + 28uy + 20, + x= 0, 
aud + Buu; + vf + 204; + 2103, + x = 0, 
aul + 2Bu,0, + 19,2 + 200, + 270, + x = 0, 
an? + 2Bu,0, + 702 + 2074, + 270, + x = 0. 
Soll auch die Gerade 7'die Curve berühren, so besteht noch die Gleichung 
an? + uv + qu? + 2306 + 3:9 + x = 0. 
Der Verein dieser sechs für die Coefficienten a, 8, y, 6, & x homogenen 
linearen Gleichungen bedingt das Verschwinden ihrer Determinante: 
ui up ww? w A 1 
nl MD wow 4 
"wg wu OR Un Var LU — 0 
| ud Meg Ur 44 ve l| €: 
up Ww 02 4, "7, 1 
HS was: "iow. S] 
Dies ist die Gleichung der durch 7, .. 7'; bestimmten Curve zweiter Klasse. 
5. Die Gleichung einer Parabel in Liniencoordinaten ist 
apu? -- 9049 + qv? + 20% + 2:2 — O. 
Diese Gleichung enthàlt nur noch fünf Coefficienten, deren Verhältnisse 
durch vier homogene lineare Gleichungen bestimmt werden. Sind. Z5: 7.7 
T, vier gegebene T'angenten einer Parabel und ist Z' eine beliebige andere 
  
Parabeltangente, so hat man für die Coefficienten a, 8, 1, 9, « die fünf Gleichungen: 
«4? -- 906u v + yo? + 202 + Zeo = 0, 
aul + Buy, -- [93 + 256, + 2sv, — 0, 
1 P¥#17, (7 1 1 
aug + 2Buyvy + (Ug 4- 20u4 -- 2:75 = 0, 
auf + pup, + voi + 280; + 2ev3 = 0, 
2 9 
aug -- 90s.v, + VV + 264, + 2e7, — 0. 
Aus dem Verein dieser fünf Gleichungen folgt das Verschwinden ihrer 
Determinante: 
J 
m 
~ 
à 
pu 27 9 U 
  
8 
Vu 4471 Uy Ur 
7 
ca 
N 
| 
| 
| ud WU. 92 ds | sn. 
| uf Hy OF Uy a | 
| ug uv, ow 9 | 
Dies ist die Gleichung der Parabel, welche die vier Geraden' 7, 75) 725, 77 
zu Tangenten hat. 
Durch vier Tangenten ist also eine Parabel eindeutig bestimmt. 
6. Soll durch vier Punkte eine Parabel gelegt werden, so bestehen fiir 
die sechs Coefficienten der Gleichung in Punktcoordinaten # = 0 zunächst die 
vier Gleichungen: 
ax? + 2bx.y, + cyf + 2dx, + 209, +f 
ax? + 2bxoy + yE + 2dxz + 2099 + f 
axd + 2xyyy + yf + dx, + 2eÿ3 +7 
ax? + 20x,y, + cy? + 2dx, + 2¢y, + f 
I 
| 
~ 
| 
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