Analytische Geometrie. 
Ausserdem gilt noch die für die Parabel charakteristische Gleichung 
2. 52 — ac = 0. 
Setzt man 5:a = , also à = a), so folgt aus 2. c — aÀ?; wenn man diese 
Werthe für à und c in die Gleichungen 1. einführt, so erhält man: 
a(x? + 20x yy, + My?) + 2dx, + 2ey, + f 
ax) + 2 x,y, + Ay?) + 24x, + 2ey, + f 
a(x c 2Xxyy, + My?) + 2dx3 + ey; + f 
&(xà -FO2Ax,y, -- My) -- 24x, 4 2ey, + f = 
Sieht man dieselben als homogene lineare Gleichungen von 
so folgt das Verschwinden der Determinante 
T Ska», UMS xy A 
XPo- 2ÀAx.y. -e My x,y, 
xf + 2hxgyy + Myf ox, yy 
Lai FA WAP x y 
Diese Determinante lässt sich als Summe dreier Determinanten schreiben 
und führt damit auf die quadratische Gleichung für A 
| 
) 
| 
) 
0 
0 
0, 
0 
a, 
| 
d, €, fan, 
MM BM M 
|sg m 34 1 9 dw 3 1 | po x10 11 
d iid xy Vy + 031 7275 Fa YM I4 + à? Ji de Ye 1] — 0. 
xg Xs Jg l | X3J3. X3 Jg 1 Wd Ma Ya | 
se x 1 | | 444. M V4 Vi bg X Ya À 
Durch diese Gleichung ist nun À bestimmt. Setzt man den so berechneten 
Werth von À in die Parabelgleichung 
9. a(x? 4 2kxy + k2y?) -- 94x + 2ey + fF = 0 
ein, so enthält dieselbe noch die vier Constanten a, d, e, f. Man kann nun 
diese eliminiren, wenn man 5. mit drei Gleichungen der Gruppe 3. z. B. mit 
den ersten dreien dieser Gleichungen, zusammenstellt Man hat dann vier 
homogene lineare Gleichungen fiir @, 4, e, / und folgert aus ihnen das Ver- 
schwinden ihrer Determinante: 
(a? + 2Axy Uu Ay? v y | 
[ #f + DAE. + AE wy, | 0 
xf + 2hx,y, + Ay? x Va | S 
= + 20x 4+ AP xy yy 
Dies ist die gesuchte Parabelgleichung. 
Prd pd pd ed 
Da À aus der quadratischen Gleichung 4. gefunden wird, so haben wir den 
Satz: Durch vier Punkte kann man zwei Parabeln legen; dieselben 
sind real und verschieden, oder real und zusammenfallend, oder 
conjugirt complex; bei besonderer Wahl der vier Punkte kónnen 
auch beide oder eine zu zwei parallelen Geraden ausarten. 
7. Die in No. 2 und No. 4 gegebenen Gleichungen einer Curve zweiter 
Ordnung in Punkt- und Liniencoordinaten sind keine geeigneten Ausgangspunkte 
für geometrische Folgerungen. Wir wollen daher noch eine andere Methode 
angeben, die Gleichung einer Curve zweiter Ordnung zu bilden, die durch fünf 
gegebene Punkte geht, bez. fünf gegebene Gerade berührt; wir werden durch 
dieselbe die Gleichungen in einer solchen Form erhalten, dass wir mit Leichtig- 
keit werthvolle geometrische Sätze aus ihnen ableiten können. 
8. Um die Gleichung des Kegelschnitts zu finden, der durch die fünf Punkte 
4, B, Py, P,, P, geht, betrachten wir zunüchst die vier Punkte 4, 2, PP. 
Zu den unendlich vielen Kegelschnitten, die durch diese Punkte gehen, gehóren 
die Linienpaare AP, BP, und AD, DDP. Sind 7,0 7Z,u0 7, 29, 
  
     
  
   
   
       
           
     
   
  
      
     
    
   
   
   
   
  
  
   
    
       
   
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