Analytische Geometrie. 
7. ACB — CBD + BDA — DAC = 0; 
somit gilt die Gleichung auch für die Anordnung AC D. 
Wenn also einer von den vier Punkten 472 CD im Dreieck der drei anderen 
liegt, so gilt die Formel 4C — BCD + CDA — DAB = 0, gleichgültig, 
in welcher Reihenfolge man die Punkte mit 4, B, C und D bezeichnet hat. 
b) Liegt nicht einer der vier Punkte im Dreiecke der drei andern, so bilden 
sie in einer bestimmten Reihenfolge die Ecken eines Vierecks mit lauter concaven 
Winkeln. Ist ABCD eine solche Reihenfolge, so gilt zunächst für die absoluten 
Werthe der Dreiecke die Gleichung: 
8. ABC + ACD = ABD + BCD. 
Da B und D auf verschiedenen Seiten von AC liegen, 
so sind ABC und ADC ungleichen Sinnes, mithin ABC 
und ACD gleichen Sinnes; da ferner B und C auf der- 
selben Seite von AD liegen, so sind ACD und ABD 
gleichen Sinnes; und da endlich 4 und D auf derselben 
(M. 413.) Seite von BC liegen, so sind ABC und D BC, also auch 
ABC und BCD, gleichen Sinnes; es sind also alle vier 
Dreiecke ABC, ACD, ABD und BCD gleichen Sinnes, und die Formel 8. 
gilt daher auch in Riicksicht auf die Vorzeichen. 
Bemerkt man nun, dass ACD = CDA, ABD = DAB, so folgt aus 8. 
9. ABC — BCD + CDA — DAB = ©. 
Die allgemeine Giiltigkeit der Formel fiir jede Permutation der Buchstaben 
ABCD wird nun anschliessend an 9. ebenso bewiesen, wie in a). 
Für jede Lage von vier Punkten 4.8 CD einer Ebene und für jede Reihen- 
folge der Punkte gilt also die Gleichung der Flächen 
ABC — BCD + CDA — DAB = 0. 
  
Beachtet man, dass BCD = DBC, CDA = — DCA, so kann man 
hieraus noch die bemerkenswerthe Formel ziehen: 
10. DAB + DBC = DCH = ABC. 
4. Als homogene Coordinaten eines Punktes in der Ebene verwenden 
wir die senkrechten Abstände des Punktes von den Seiten eines Dreiecks 4,4,43;. 
Das Dreieck heisst das Coordinatendreieck, die Geraden 4,43, 4,4,, 4,4, 
werden als die Achsen bezeichnet. Die Abstände eines Punktes P von den drei 
Achsen 4,4,, 444,, 4,4, werden mit x,, X5, X4 bezeichnet. 
Wir rechnen x, positiv, wenn P und 
X 2 A, auf derselben Seite von 4,4, liegen, 
N KC im Gegenfale negativ, und ebenso für 
P > Ts die andern Coordinaten. 
4X NS. Rechnen wir das Dreieck A, A, 43 
y \ > P positiv und die Strecken 4,4, — 41, 
"t zt | Â,4, — 29 À, Às — £; ebenfalls post 
/ =, tiv, so ist, wenn Z£ eines der Paare 1 2, 
A \ | 28, 31 und 7Æ/ eine Permutation von 
- 1939 bezeichnet, das Dreieck .24;4; 
positiv oder negativ, je nachdem x; po- 
sitiv oder negativ ist; also ist auch rück- 
(M. 414.) sichtlich des Zeichens 
1 
i: PA; A, ae 967 X. 
      
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
   
   
  
  
  
  
   
  
   
  
  
  
     
  
  
   
   
     
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