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8 12. Homogene Coordinaten des Punktes und der Geraden. 
Für die vier Punkte P4, 4, A, gilt die Gleichung No. 3, 10: 
9. PA Ay + PAA, + PAA, = d dd. 
Setzt man hier die Werthe 1. ein und setzt 4, 4,4, = A, so erhält man 
3. 81%, + 82% + $3%3 = 2A. 
Bezeichnet man die Coordinaten der Eckpunkte A, À, A, mit /4, A5, 7, 
dividirt beide Seiten von 3. durch 2A, und bemerkt dass g;: 2A — 1: ;, so 
erhalt man 
1 1 1 
4. 2 = 4,72 zi 3.7. = 1. 
Das ist die lineare Gleichung, die drei Strecken erfiillen miissen, wenn sie 
die homogenen Coordinaten eines Punktes sein sollen. 
Ist nun eine nichthomogene Gleichung zten Grades zwischen den Coordi- 
naten x,, X9, x, gegeben und ist die Anzahl der veründerlichen Faktoren eines 
Gliedes um 9 Einheiten kleiner, als der Grad z, so multiplicire man dies Glied 
mit dem der Einheit gleichen Faktor 
E Dn 
1 49 LE 
alsdann gehen aus diesem Gliede eine Folge von Gliedern zten Grades hervor. 
Macht man dies nun mit allen Gliedern der Gleichung, die nicht zten Grades 
sind, so erhált man nach Auflósung aller Klammern lauter Glieder zten Grades, 
und hat somit die nichthomogene Gleichung durch einehomogene ersetzt. 
5. Um aus einem homogenen Systeme zu einem rechtwinkeligen überzugehen 
und umgekehrt, nehme man die Gleichungen der Achsen des homogenen Systems 
in Bezug auf das rechtwinkelige in Normalform gegeben an; dieselben seien 
  
für Ag da: cos 9, X + sing, -y — dy = 0, 
für A, 4, COS Pa + X + SIN G9 + Y — dy = 0, 
für À 45 cos 3 X + Sing; y — ds = 0. 
Alsdann ist bekanntlich 
TE x, = — (05p XX — Sing -y + 4&4, 
I 5 4, = — COS, À SPY d 
x, == > (OS D, X — Sings -y + dy; 
hierbei ist links in jeder dieser Gleichungen das Vorzeichen + oder — zu wählen, 
je nachdem die gleichnamige homogene Coordinate des Nullpunkts positiv oder 
negativ ist. 
Dies sind die Transformationsformeln für Punktcoordinaten zum Ueber- 
gange aus einem homogenen in ein rechtwinkeliges Coordinatensystem. 
Lóst man zwei der Gleichungen 1., z. B. die erste und zweite, nach x und y 
auf, so erhält man Transformationsformeln zum Uebergange aus einem recht- 
winkeligen in ein homogenes System; dieselben haben die Gestalt: 
#0" + 8% +1, 
yc wu, co. + 7. 
Die dritte Coordinate x, wird eingeführt, indem man entweder die linken 
Seiten dieser Formeln homogen macht (No. 4), oder indem man die Curven- 
gleichung nach der Transformation homogen macht. 
Bei jedem der beiden Ueberginge hat man also die Coordinaten des 
urspriinglichen Systems durch lineare Functionen der Coordinaten des neuen 
Systems zu ersetzen. Hierdurch erhilt man Gleichungen in den neuen Coordi- 
naten, die von demselben Grade sind, wie die Gleichungen im ursprünglichen 
Systeme. "Wir schliessen daher: Durch Transformation aus einem recht- 
3. 
  
  
  
  
  
  
  
RUNE