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Geraden 
8 12. Homogene Coordinaten des Punktes und der Geraden. 119 
  
ado a x Saba 
R CO que 2h =F =a) 
Nun ist bekanntlich. CQ,Q, -- CQ5Q, + CQ4,Q, = 0. 
Setzt man hier die Werthe 4. und 5. ein, so erhält man nach Multiplication 
mit 2 (1 — #,) (1 — 43) (1 — v3) 
£101 (1 —#;) + £205 (1 — #2) + sp (1 — #3) = 0, 
oder nach Auflösung der Klammern: 
E1P1%1 + LaPa¥y + £303%; = £101 + Labs + SaPa- 
Ersetzt man die rechte Seite durch 2A, dividirt dann rechts und links durch 
9A und bemerkt, dass gz:2A = 1:/%;, so entsteht schliesslich 
^ au. 02. Pa 3 
6. 7 Wu + P» “ey + ha ug = l. 
Dieser linearen Gleichung geniigen also die drei Coordinaten jeder Geraden; 
und umgekehrt: Wenn drei Zahlen #,, #9, #3 dieser Gleichung genügen, so sind 
sie die Coordinaten einer Geraden. 
Mit Hülfe der Gleichung 6. kann man jede nicht homogene Gleichung der 
Liniencoordinaten z,, 45, 44 homogen machen. Ist z der Grad der Gleichung und 
ist die Anzahl der veründerlichen Faktoren eines Gliedes um 9 Einheiten kleiner 
als z, so multiplicire man das Glied mit dem der Einheit gleichen Faktor 
y. #, + - 4, + N Us 
Hierdurch gehen aus dem Gliede eine Reihe von Gliedern vom Grade z 
hervor. Verführt man so mit allen Gliedern der Gleichung, die den Grad % 
nicht erreichen, so geht aus der gegebenen Gleichung eine neue hervor, deren 
Glieder simmtlich den Grad z haben, also ist die neue Gleichung homogen. 
7. Sind x,J4, Xs, X34J,, En die Coordinaten der Punkte 4,44A4,C in 
Bezug auf ein rechtwinkeliges System und v die Coordinaten einer Geraden 7° 
in diesem System, so sind die Abstände der Punkte 4,4544C von 7' bekanntlich 
X94 + 57 — 1 Xai y49—1 
~ 
0 
  
7 V3 I 
x 1 re — 4 — IL eee 
i Vu? + v2 ? yw? + v? Vu? + v? 
t £u 4-7 — 1 
Jg TE CUT 
Vu? + 7? 
Hieraus ergeben sich die homogenen Coordinaten von 7 zu: 
ry Sgr tip 
  
  
i 
Uy = — = —— 
1 7 Eu + no — 1” 
2. La Fall yet 3 
2 r Eu + no — 1” 
Ta CE 7 
3 " Eu + nov — 1 
Eine homogene Gleichung %ten Grades in homogenen Liniencoordinaten 
kann mit Hülfe dieser Transformationsformeln in eine Gleichung in gewöhn- 
lichen Liniencoordinaten transformirt werden. Jedes Glied der transformirten 
Gleichung enthält den Divisor (Ez -- qv — 1)”. Lässt man diesen gemeinsamen 
Divisor aller Glieder weg, so bleibt eine (im Allgemeinen nicht homogene) 
Gleichung zten Grades in % und 7. 
Um aus einem gewöhnlichen: System zu einem homogenen überzugehen, 
lösen wir zwei der Gleichungen 2., z. B. die erste und zweite, nach z und v auf. 
Wir erhalten u, (Eu m q9 1) — xu d-y,V7—1, 
u9 (Eu + no — 1) = xqu + yg? — 1,