?" positiv und 
d OZ" beide 
?! megativ, so 
Y von x^und y 
Punkt 2 der 
mt. 
x alle realen 
urchlaufen, so 
eichung /(x, y) 
lgemeinen von 
rliche Grósse, 
| x und y den 
is + oo durch- 
weierlei Weise 
metrisch durch 
1e Operationen 
| nun zugleich 
Sätze, welche 
zugleich alge- 
(x, Y)=0 ge- 
parallelen und 
«es PA OX und 
1 OP' die Ab- 
cissenachse, 
der durch Z 
OP" haben, 
le Punkte der 
Abscissenachse 
nfangspunkt 
der, dass zu- 
) — 0 die linke 
ir x und y» Ist; 
, drtten und 
um Theil auch 
rehender Sätze 
jen des fünften 
iner Sätze; die 
en Grades vor 
| der Gleichung 
ehr algebraisch 
lrechnung und 
8 2. Die Gerade. 4 
Integralrechnung eine Reihe von Eigenschaften analytisch abzuleiten. Diese 
Curven werden daher im gegenwürtigen Lehrgange unberücksichtigt bleiben und in 
besonderen Abschnitten derDifferential- und derIntegralrechnung behandelt werden. 
Vor der Discussion der Curven ersten, zweiten etc. Grades erscheint es 
zweckmässig, die Grundbegriffe dadurch einzuüben, dass wir zu geometrisch 
definirten Curven die Gleichung aufsuchen und durch einfachste Operationen an 
diesen Gleichungen nahe liegende Eigenschaften der Curven ableiten; wir wühlen 
dabei solche Beispiele, welche bereits aus der darstellenden Geometrie bekannt 
sind. An diese Entwicklungen wird sich dann zunüchst eine sehr wichtige Er- 
weiterung der Grundbegriffe anschliessen. 
8 3. Die Gerade. 
1. Für die Punkte, deren Abstünde von der Abscissen- und der Ordinaten- 
achse ein gegebenes Verhältniss m haben, gilt die 
Cleichung Z'P-: 0 P -—», d. i. x 
y —mx, oder mx — y — 0, 
diese Punkte liegen auf einer Geraden 7, die 
durch den Nullpunkt O geht, und für welche 
tang XOT — m. Cut 
Die Gleichung zx — y — 0 ist daher die oe | 3 
Gleichung einer durch den Nullpunkt bete md 
gehenden Geraden. a 
Ist z; positiv, so haben 2'2 und OP" das- 
selbe Zeichen, die Gerade geht daher durch den 
Winkel XO Y und seinen Scheitelwinkel; ist zz (M. 347.) 
negativ, so haben PP und. O7" ungleiche Zeichen, und die Gerade geht durch 
die beiden andern von den Achsen begrenzten Winkel. 
2. Für die beiden Geraden 7 und 7, deren Gleichungen sind 
  
  
y — mx und y — — mx 
ist Jang XO T, — m = — lang XOT,, folglich XO7, = 180° — XO7,. Diese 
beiden Geraden liegen daher symmetrisch zu den Achsen. 
Bilden zwei durch O gehende Gerade 7, und 7 rechte Winkel, so ist 
XOT,zXO,-r9P, mithin 
  
lang XO T — — cot XOT, = — 1 : ang XOT, 
Ist y = mx die Gleichung von 7',, so ist daher die von 7, 
1 
dem i. Y 
Die beiden durch den Nullpunkt X P, 
gehenden Geraden N B 
Jjusmx, vas LN ei 
stehen also auf einander senkrecht, | : LAT 
wenn mx = — 1. | t x 
Für jeden Punkt der Geraden, welche 0 P P, 
O0 mit dem Punkte J^, verbindet, ist 
QP' . PPOP'.PP,- oder, wenn 
x, y, die Coordinaten von 7^ sind, 
  
Xy y also ist (M. 348.) 
Ji* — 3, —0