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8 14. Kegelschnittbüschel und Kegelschnittschaar. 161 
Man überzeugt sich leicht, dass in diesem Falle die drei andern Punkte 
By, By, B, in den an den Seiten des Achsendreiecks anliegenden zweieckigen 
Feldern sich befinden, und dass 7, im Innern des Dreiecks Ba B; B, liegt. 
Auch sieht man leicht, dass, wenn ein Eckpunkt B, eines Vierecks im Innern 
des Dreiecks der drei andern liegt, dieser Punkt positive Coordinaten in Bezug 
auf das Dreieck der Diagonalpunkte hat, und daher die Gleichung 2. erfüllt 
ist. Wir schliessen daher: Durch vier im Endlichen liegende Punkte 
lassen sich nur dann zwei Parabeln legen, wenn keiner sich im Drei- 
ecke der drei andern befindet. 
Der Fall, dass durch die vier Punkte nur eine Parabel móglich ist, tritt ein, 
by by ba by by by by ba bs 
wenn (r-z-z A AA. A. = 0, also 
2 
wenn eine von den drei Gleichungen gilt: 
h=ih, by M h=+k 
Wie man leicht sieht, ist dann einer der Punkte B, B, B, unendlich fern. 
Durch drei im Endlichen und einen (in bestimmter Richtung) unend- 
lich fern liegenden Punkt ist eine Parabel eindeutig bestimmt. 
13. Sind. &, — 0, A, —0, kK; = 1, Ky + 15 Ky = 0 die Gleichungen 
dreier Kegelschnitte eines Biischels oder einer Schaar, so kann man bei geeigneter 
Wahl des Verhältnisses 7, : 7, die Gleichung jedes vierten Kegelschnitts des 
Büschels oder der Schaar in der Form schreiben X = Pill 1) dry. 
Der Quotient 7, :7, heisst das Doppelverhültniss der vier Kegel- 
schnitte X, X, X, K, und wird durch (X, KK, K) bezeichnet. 
Auf Grund dieser Definition kónnen Kegelschnittbüschel und Kegelschnitt- 
schaaren in den Kreis projectiver Gebilde gezogen werden: Sind A, A, R; und 
R,'R,'R;' die Gleichungen für je drei Punkte einer Geraden, oder 
Strahlen eines Büschels, oder Punktepaare einer Punktinvolution, 
oder Strahlenpaare einer Strahleninvolution, oder Kegelschnitte 
eines Büschels oder einer Schaar, und werden je zwei Elemente 
(Punkte, Strahlen, Punktpaare, Strablenpaare, Kegelschnitte) der beiden Ge- 
bilde auf einander bezogen, für welche (R,R,R,R) — (RU, RUF, 
so heissen die beiden Gebilde projectiv. 
Beachtet man die Gleichungen der Polaren eines Punktes für die Kegel- 
schnitte eines Büschels Ky =10, Æ, — 0, K; = 0, K = 0, so. findet 
man sofort: Das Polarenbüschel, welches die Polaren eines Punktes 
in Bezug auf die Kegelschnitte eines Büschels bilden, ist mit dem 
Kegelschnittbüschel projectiv. Insbesondere: Das Büschel der Tan- 
genten, welche die Kegelschnitte eines Büschels in einem Träger 
des Büschels berühren, ist mit dem Kegelschnittbüschel projectiv. 
Ferner folgt aus No. 7: Ein Kegelschnittbüschel und alle die Punkt- 
involutionen, in denen das Büschel von den Geraden einer Ebene 
geschnitten wird, sind projectiv, und zwar entspricht einem Kegel- 
Schnitt des Büschels das Punktepaar jeder Involution, das auf dem 
Kegelschnitte liegt. 
Die Punktreihe, in welcher eine durch einen Träger gehende 
Gerade die Kegelschnitte eines Büschels schneidet, ist mit dem 
Büschel projectiv. 
Ebenso findet man: Die geradlinige Punktreihe, welche die Pole 
einer Geraden in Bezug auf die Kegelschnitte einer Schaar bilden, 
SCHLOEMILCH, Handbuch der Mathematik. Bd. IL, II