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8 15. Curven dritter Ordnung. Construction derselben aus neun gegebenen Punkten. 167 
Haben die Gleichungen ' und X" zu der Wurzel x, zwei gemeinsame 
Wurzeln für x$, so verschwindet .S identisch, und zur Berechnung der beiden 
Wurzeln genügen die beiden Gleichungen 
F' Az daxs 4 4,22 + Ayxd = 0, 
FU ER By + Boxy + Bixf + Byxf = 0, 
aus denen man durch Elimination von x,3 die quadratische Gleichung erhält 
Ay(By + Byxy + Bix) — By(dy + Ayxg?) = 0, 
welche die beiden gemeinsamen Wurzeln x, ergiebt. 
Im Allgemeinen gehört zu jeder Wurzel x, der Gleichung A — 0 eine ge- 
meinsame Wurzel x, — — Sy: S, der Gleichungen #' = 0 und F'=0. Wir 
schliessen hieraus: Zwei Curven dritter Ordnung haben neun Schnitt- 
punkte; davon ist wenigstens einer real. 
3. Soll eine Curve III. O. durch acht Punkte P,, P 
so stelle man die neun Gleichungen auf 
I 
P, gelegt werden, 
3 € 2 c 9 Jd us 
l. 41,4124 - 3G,,9X$ Xa -- 3a..34x$ xy + + 233545 = 0, 
3 2 c 3 do. scs 
3 4434944 + 30119%11%91 + 30113%$4%31 + + 0333%$, = 0, 
‘ 3 9 9 Sain 
3. 4111Xj9 + 301411X19%99 + 3a 308505, + + 33348, = 0, 
+ . . . ^ . . . . . . e . . . . . 
3 2 dn 9 d oo 
9. V4111X4g + 30419%{g%93 + 30,43%$5%38 + + 233548, = 0. 
Man schliesst hieraus das Verschwinden der Determinante 
ai ya 2 '9 2 9 3 49 2 y 
@1 11%] FO 19%] V9, Xj Xy, XiXd, X4X9X3, X1X3, X3, XX, XoX3, x3 
3 2 oa 
4Queumuu ht oo: sre. Ty 
m 3 .2 2 
10. f= aT man Mage [45.0904 es ASS 
ka X83. A 3A Kt Kan, KA ait ily +: 
111%Ÿs ii2*is929 *is*3gp + - CIE . 38 
Diese Determinante zerfälit in die Summe zweier Determinanten 
a 14] 
11. fmm 0111 / + 86,157, 
wobei /' und /" die Functionen dritten Grades sind 
  
  
My Ey Ka ME My, mJ, ve. Xan, nd 
3 2 - 3 
Xr Baars: v 5 2. . Aud uide: i sies x3. 
E em 3 2 3 
12. of == X9, X{2X39) . . . . . . . . . . . . . . . . X39 J 
3 12 3 
X8» Xi 8038» . . . . . . . . . . . . . . . . X38 
xPxy, x2x5, xlxy, xXQaqXaXx.y, XP, XP, xg. Xx, x 
2 2 3 
9112394) :3,2 41 Ee mage s mou (eb aA. a. WO. 
I A 
13. fixie ii ity lee, 
3 2 2 
A TT Piste : : v" anos 
Die Gesammtheit der durch die gegehenen acht Punkte gehenden Curven 
dritter Ordnung ergiebt sich, wenn man in 11. dem Verhältniss der beiden unbe- 
stimmt gebliebenen Coefficienten a, 4; : 3@,,9 alle möglichen Werthe giebt. 
Aus 11. folgt, dass alle Punkte, für welche /' = 0 und /" = 0 ist, auch 
auf der Curve / — 0 liegen. Nun sind /' — 0 und /" — 0 zwei vóllig bestimmte 
Curven dritter Ordnung, haben also neun bestimmte Schnittpunkte. Unter diesen 
sind die acht gegebenen Punkte, da für jeden derselben die erste Zeile in X 
und /" mit einer der übrigen identisch wird, und daher /' und /" verschwinden. 
Wir schliessen daher: Alle Curven dritter Ordnung, die durch acht 
gegebene Punkte gehen, haben noch einen durch die gegebenen 
Punkte bestimmten neunten realen Punkt gemein.