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8 17. Construction von Curven dritter Ordnung mit Doppel- und Rückkehrpunkt. 
Gleichung der Coefficienten gegeben, wir brauchen daher ausser dem Doppel- 
punkte noch sechs weitere Punkte, um die Coefficientenverhältnisse 
9$111:705,419 1 à 8 20553 
eindeutig zu bestimmen. Eine C5 ist daher durch den Doppelpunkt und 
sechs weitere Punkte bestimmt. 
2. Zieht man durch einen beliebigen Punkt 4 einer C5 zwei Strahlen 71, 
7,, welche die Curve ausserdem in B,C, und B,C, schneiden, so wie einen 
dritten Strahl 7%, und hebt einen weiteren Schnittpunkt ZB; desselben mit der 
Curve hervor; zieht die Strahlenpaare S,5,, SaSe, durch welche B,C, und 
B,C, mit dem Doppelpunkte II verbunden werden, sowie den Strahl S,, der 
von II rach B, geht; so ist durch die Strahlenpaare S,S,', S,.5,' eine quadra- 
tische Strahleninvolution bestimmt. Setzt man nun das Strahlbiischel des Punktes 
A mit dieser Involution derart in projective Beziehung, dass 7 dem Strahlen- 
paare S,5,', Z4 dem Paare S,5,' und 7, dem Paare entspricht, zu welchem 
$4 gehórt, so ist dadurch die Projectivität des Strahlbüschels und der Involution 
vollstándig bestimmt. 
Der Ort der Schnittpunkte der Strahlen des Büschels mit den entsprechen- 
den Strahlenpaaren der Involution ist (8 15, No. 14) eine Curve III. O., die den 
Träger der Involution zum Doppelpunkte hat, und durch den Träger des Strahl- 
büschels geht; diese Ortscurve hat daher ausser dem Doppelpunkte noch die 
sechs Punkte 4, B,, Ci, Ba, Co, 2, mit der gegebenen Curve C; gemein, folg- 
lich ist sie (No. 1) mit Cs identisch. Wir schliessen hieraus: Eine Cs kann in 
unendlich vielfacher Weise durch eine Strahleninvolution, deren 
Träger der Doppelpunkt ist, und ein projectives Strahlbüschel 
erzeugt werden; jeder einfache Punkt der Curve kann zum Träger 
des Strahlbüschels genommen werden. Ferner: Die Punktpaare, 
in welchen eine C; durch die Strahlen eines Büschels geschnitten 
wird, dessen Tráger auf der Curve liegt, werden vom Doppelpunkte 
aus durch die Strahlenpaare einer Involution projicirt, die mit dem 
Strahlenbüschel projectiv ist. 
3. Um eine Cj aus dem Doppelpunkte Il und sechs weiteren 
Punkten 1, 2, 3, 4, 5, A zu construiren, stellt man die Involution her, die 
mit dem projectiven Strahlbüschel, dessen Träger A ist, die Curve erzeugt. 
Schneidet man das Strahl- 
büschel durch eine Gerade «, die 
durch 5 geht und die nach 1, 2, 
3, 4 gehenden Strahlen in 1’, 2, 
3', 4' trifft, und projicirt man diese 
Punkte von einem auf der Gera- 
den lí 5 gelegenen Punkte Z aus, &_— 
so ist das Büscnel 7 projectiv 
mit dem Büschel 44, also auch 
mit der gesuchten Involution. Der 
Strahl £5 entspricht dem Paare 
der Involution, zu welchem II5 (M. 426.) 
gehört; da nun 2 auf II5 liegt, so befinden sich die Involution Il und das 
Büschel Z in reducirter Lage ($ 15, No. 15), erzeugen also keine eigentliche 
Curve III. O., sondern eine, die in die Gerade ILZ und einen durch II. gehenden 
Kegelschnitt Æ zerfällt. Von diesem Kegelschnitte sind nun fünf Punkte bekannt;