II3, II4 von 
stimmt. 
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8 17. Construction von Curven dritter Ordnung mit Doppel- und Rückkehrpunkt. 189 
Büschels; diese Strahlen theilen die Ebene in zwei Paar Scheitel- 
winkel; den Strahlen, welche durch das eine dieser beiden Paare 
gehen, entsprechen reale Paare, denen, die durch das andere Paar 
Scheitelwinkel gehen, entsprechen conjugirt complexe Strahlenpaare 
der Involution. 
Die Strahlen X, X, werden die Verzweigungsstrahlen des Strahlbäschels 
C in Bezug auf die projective Involution II genannt. 
6. Hat man (nach No. 3) ein Strahlbüschel und die dazu projective Invo- 
lution, durch welche eine C; erzeugt wird, so kann es sich ereignen, dass die 
Involution reale Asymptoten hat, und dass der Doppelpunkt II zwischen den 
Verzweigungsstrahlen € und X, des Strahlbüschels in einem der beiden Scheitel- 
winkel liegt, durch welche die Strahlen gehen, denen complexe Strahlenpaare 
entsprechen. In diesem Falle hat die C; keine realen Doppelpunktstangenten ; 
und da keiner der Strahlen des Büschels, welche durch das Winkelfeld gehen, 
in welchem II liegt, die Cs schneidet — denn keinem entspricht ein reales Strahlen- 
paar der Involution — so hat die Curve in der Umgebung des Doppelpunktes 
keine realen Punkte. In diesem Falle bezeichnet man den Doppelpunkt als 
isolirten Punkt. 
Die Verzweigungsstrahlen € und X, berühren die C3 in den Schnittpunkten 
mit den ihnen entsprechenden Asymptoten € und €, der Involution. 
Hat eine Cj einen isolirten Punkt, und wählt man der Reihe nach alle 
Punkte der Curve zu Trägern eines Strahlbüschels und bestimmt die zugehörige 
Involution, welche mit dem Biischel die C; erzeugt, so muss jede solche Invo- 
lution reale Asymptoten haben und II immer in dem Gebiete zwischen den 
Verzweigungsstrahlen liegen, dessen Strahlen keine realen Strahlenpaare der In- 
volution entsprechen. Wir schliessen daher: Hat eine Curve IIL O. einen 
isolirten Punkt, so gehen von jedem Punkte der Curve aus zwei 
reale Tangenten an die Curve (ausser der Geraden, welche die C; in dem 
Punkte selbst berührt). 
7. Liegt der Träger II einer quadratischen Strahleninvolution auf einem der 
beiden Verzweigungsstrahlen X eines projectiven Strahlbüschels, so fallen die 
Doppelpunktstangenten der durch das Büschel und die Involution erzeugten Ci, 
die dem nach Il gehenden Strahle X entsprechen, in eine Asymptote S der 
Involution zusammen. Die Curve IIL O. 
hat also in diesem Falle II zum 
Rückkehrpunkte und € zur Rück- 
kehrtangente. 
8. Sind von einer Curve C; der 
Rückkehrpunkt Il, die Rückkehr- 
tangente Z' und vier weitere Punkte 
9, 4, 5, A gegeben, so kann die Curve 
in wesentlich derselben Weise construirt 
Werden, wie eine durch den Doppelpunkt 
und sechs Punkte bestimmte C. 
Dem Strahle All entspricht die Rück- 
kehrtangente 7, mithin entspricht dieser 
im Büschel 7 der nach dem Schnitte 7 
von I4 und « gehende Strahl Z1'. Da 
diesem Strahle die Asymptote 7' der 
  
  
(M. 427.)