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192 Analytische Geometrie. 
Gleichung zten Grades, die nur die Unbekannte x, enthält, Zu jeder der 
z Wurzeln dieser Gleichung erhält man aus der zweiten und dritten Gleichung 
die zugehörigen Werthe von x, und x.. Dies ergiebt: Eine Curve zter 
Ordnung wird von einer Geraden in zPunkten geschnitten. 
3. Jede durch den Triger 4 der ersten Involution (No. 1) gehende Gerade 
T gehört zu einem bestimmten Strahlenpaare 7'Z" dieser Involution; die Punkte, 
in welchen dieses Paar die Curve / — 0 schneidet, liegen auf dem entsprechenden 
Strahlenpaare .$.$'. Also hat die Gerade 7' ausser dem Punkte 4 noch zwei 
Punkte mit der Curve gemein. Wir schliessen hieraus, dass jede durch A gehende 
Gerade'im Punkte 4 zwei zusammenfallende Schnittpunkte mit der Curve / — 0 
hat, dass also 44 ein Doppelpunkt der Curve ist. Durch zwei projective 
Strahleninvolutionen wird eine Curve vierter Ordnung erzeugt, welche 
die Tráger der beiden Involutionen zu Doppelpunkten hat. 
4. Wenn die Strahlenpaare zweier Involutionen sich entsprechen, zu welchen 
der die Triger verbindende Strahl gehort, so sagt man, die Involutionen 
befinden sich in reducirter Lage. Ist X der durch die Träger gehende 
Strahl, und entsprechen sich die Paare A7' und AS,', so kann man in No. 1 
die Paare A7,' und AS,' statt der Paare 7,7,' und ,S,S,' nehmen. In der 
Gleichung f — 0 tritt dann der Faktor .& auf, indem man hat 
fe R (a 04T, 15,8, — a 04TSTS - Sy). 
Die Curve vierter Ordnung f zerfällt also in. die Gerade RX = 0 und in die 
Curve HL_O. 
© == A027, 5252 — A30,7272' 5, = 0. 
Der Gleichung — 0 wird genügt, wenn 7' — 0 und 7, — 0, sowie wenn 
S, -— 0 und ,$,'— 0, also geht die Curve ¢ durch die Träger der beiden 
Involutionen. Jede durch einen der beiden Träger gehende Gerade hat ausser 
dem Träger noch zwei, im Ganzen also drei im Allgemeinen von einander ge- 
trennte Punkte mit der Curve © gemein. Wir schliessen daher: Zwei pro- 
jective Strahleninvolutionen in reducirter Lage erzeugen eine Curve 
II O., welche die Träger der Involutionen zu einfachen Punkten hat. 
5. Die Gerade A kann als die durch A gehende Gerade aufgefasst werden, 
die unendlich nahe am Träger Æ der andern Involution vorbeigeht. Sie schneidet 
daher den Strahl ,S,', der zu dem A£74' entsprechenden Paare gehört, in einem 
unendlich nahe bei 7 liegenden Punkte. Da dieser Punkt, als ein Durchschnitts- 
punkt der Paare Æ7,' und RS,', auf © liegt, so folgt, dass die Gerade .S,' die 
Curve e im Punkte Z berührt. Ebenso folgt, dass e von 7' in 4 berührt wird. 
Die beiden Strahlen 7,' und .$,' schneiden sich auf der Curve o; dies ergiebt: 
Die Trüger zweier projectiven Involutionen in reducirter Lage haben 
auf der von den Iuvolutionen erzeugten Curve III. O. denselben Be- 
gleiter. 
Zwei Punkte einer Curve III. O., die denselben Begleiter haben, werden als 
correspondirende Punkte der Curve bezeichnet. Von einem Punkte P einer 
Curve III. O., die keinen Doppel- oder Rückkehrpunkt besitzt, lassen sich (ausser 
der Tangente in P) vier Tangenten an die Curve legen; zu jedem Curven- 
punkte giebt es daher drei correspondirende Punkte. 
Vier Curvenpunkte, die denselben Begleiter haben, die also zu je zweien corre- 
spondirend sind, heissen das dem Begleiter zugehórige Punktquadrupel. 
6. Die Frage, ob je zwei correspondirende Punkte eine Curve IIL O. als 
'rüger zweier projectiven Involutionen in reducirter Lage auftreten, durch welche 
      
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
    
      
   
   
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
    
    
   
    
   
  
  
  
  
  
  
   
  
  
   
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