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S 18. 
Correspondirende Punkte einer Curve dritter Ordnung. 193 
die Curve erzeugt wird, wollen wir dadurch beantworten, dass wir angeben, wie 
eine Curve II. O. aus zwei correspondirenden Punkten 4 und Z, den 
Tangenten in diesen Punkten und einer genügenden Anzahl weiterer 
Punkte durch zwei projective Involutionen construirt werden kann. 
Sind 4,, 4$ zwei correspondirende Punkte einer C'"', A, ihr Begleiter, so 
nehme. man 4,4,4, zum Coordinatendreieck. Die Durchschnittspunkte der 
Geraden 44,44, und der Curve ergeben sich aus der Gleichung 
i. 4999%} + 309934 %3 + 30933 X3%Ÿ + Ag33%P = 0. 
Da nun von den Schnittpunkten zwei mit 4, und einer mit 4, zusammen- 
fallen, so muss sich die Gleichung 1. auf x,x2 = 0 reduciren, es ist also 
0399 — 4333 = 0333 — 0. 
Die Verhältnisse der Coordinaten x, :x, für die Schnittpunkte von 4,4, 
und der Curve erhält man aus 
2. 9,1493 + 301131 %3 + 313391 %$ + 035 4x! — 0. 
Da diese Gleichung zwei mit 4, und einen mit 4, zusammenfallenden 
Schnittpunkt ergeben muss, so muss sie sich auf x,x,? — 0 reduciren; folglich 
ist 4,44 — 4113 #0. 
Die Gleichung der Curve in Bezug auf 4,44,44, ist daher 
f 9 39a,,9x 2$ a 930,9 X, v - 60,5 43,2934 + 30133105 + 945ggi 0) — 0. 
Die Verbáltnisse der fünf Coefficienten in dieser Gleichung werden durch 
vier weitere Punkte bestimmt. Dies ergiebt: Eine Curve III. O. ist durch 
zwei correspondirende Punkte, ihren Begleiter und vier weitere 
Punkte eindeutig bestimmt. 
7. Um die C" zu construiren, welche 4,4, zu correspondirenden 
Punkten, 4, zu ihrem Begleiter hat, und durch die Punkte 1, 9, 9, 4 
geht, legen wir einen 
Kegelschnitt X, durch 
Ayı 1, 2, 3, 4 und einen 
Kegelschnitt X, durch 
715; 1, 9, 8, 4. 
Sind /, und /, die 
projectiven Involutionen 
mit den Trägern À, und 
4$, durch welche die 
Curve erzeugt wird, so 
suchen wir die beiden 
Strahlbüschel, die mit /, 
und /, zusammen die 
Kegelschnitte A, und X, 
erzeugen; die Träger 
dieser Büschel seien Z, 
und Z,. Da 4,4,, 4,4, 
ein Paar der Involution 
J, ist, so liegt B, auf der Geraden, welche die Schnittpunkte D und Æ von X, 
und 4,4,, 4,4, verbindet; ebenso liegt B, mit den Schnittpunkten G und # 
von Æ, mit 4,43, 4,4, auf einer Geraden. 
Die Büschel Æ, und B, sind projectiv mit den beiden projectiven Invo- 
lutionen /, und /,, also sind sie auch unter einander projectiv, und die Schnitt- 
punkte entsprechender Strahlen liegen auf einem Kegelschnitte Z. Da nun in den 
—— 
  
(M. 431.) 
ScuLoEMILCH, Handbuch der Mathematik, Bd. II. 13