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J A, sind 
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§ 3. Die Ebene, die Gerade und der Punkt. 203 
OA mit den Coordinatenachsen einschliesst, und sind x, y, z die Coordinaten 
eines Punktes P der Ebene, so ist die Bedingung, dass die Normalprojection 
von P auf die Gerade ON mit dem Punkte 4 zusammenfällt: 
OSU X A cosB-y + eos 8 = d. 
Die Coordinaten jedes Punktes der Ebene genügen dieser Gleichung; und 
umgekehrt, alle Punkte, deren Coordinaten dieser Gleichung genügen, liegen auf 
der Ebene; die Gleichung ist daher die Gleichung der Ebene 7: 
Eine Ebene, deren Normale mit den Coordinatenachsen die Winkel U 1 
macht und die vom Anfangspunkte um die Strecke d entfernt ist, hat daher die 
Gleichung 
1. cosa +X + COSB- y + cos z — d = 0. 
Diese Gleichung ist linear beztiglich der Coordinaten. 
Dividirt man sie durch d, so entsteht 
cosa. cos cosy 
q Ta XUI 
Nun ist, wie man aus der Figur sieht, 
0S, = dicosu, 0S, = dis, OS. dite. 
Wenn man die Achsenabschnitte O.S,, O S,, OS; der Reihe nach mit a, 5, € 
bezeichnet, so erhält man daher die Gleichung der Ebene in der Form: 
a b € 
  
  
2 -— | — |. 
Umgekehrt schliesst man: Jede lineare Gleichung zwischen den 
Coordinaten eines Punktes ist die Gleichung einer eindeutig be- 
stimmten Ebene. Denn dividirt man die allgemeine lineare Gleichung 
3. Ax + By + Cz + D = 0 
durch — D, so erhält man 
A B C 
und erkennt nun durch den Vergleich mit 2., dass 3. die Gleichung einer Ebene 
ist, deren Achsenabschnitte betragen 
D D D 
= ud) fe ES CER Cu: 
Durch Multiplication mit einem geeigneten Faktor » kann man die allgemeine 
lineare Gleichung 3. auch auf die Normalform 1. bringen, und dadurch den 
Abstand der Ebene 3. vom Nullpunkte und die Winkel bestimmen, die die 
Normale der Ebene mit den Achsen bildet. Aus der Identität 
rdx + rBy + rCz + rD = cosa-x + cosB-y + cosq-z — d 
folgen die Gleichungen 
  
td zz casa, FD = tas, CC coq? rDz-. 
Quadrirt man die ersten drei, addirt, und beachtet, dass 
cos?a + cos?B + cos? y = 1, 
so erhält man 
1 
r2 (4? + B? + C?) = 1, also 7 = —+———————; 
( ) ) VA BEA CE 
mithin hat man 
1 y A 3 B C 
. SQ uL ; COS EL m E 
y 4?4- B3? -- C3 y 43-- B3-- c?" T y 4? 4- B3 4- C? 
d D 
TT ya Pao 
  
  
  
  
  
     
   
  
  
  
   
  
   
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
     
  
    
   
  
   
    
  
   
   
  
  
   
   
     
  
  
  
   
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
   
  
   
  
  
  
    
   
   
    
      
   
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