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8 3. Ellipse Hyperbel, Parabel. 9 
x? y? 
BATE 
Der Punkt 2 beschreibt also eine Ellipse mit den Halbachsen a und &. 
Man erhält hieraus folgende mechanische Constructionder Ellipse: Auf 
— 1 =0. 
ein Stück durchsichtiges (Oel-) Papier trage man auf einer Geraden die Strecken 
AP gleich der halben kleinen und PB gleich der halben grossen Achse einer 
zu entwerfenden Ellipse ab; die Enden A und B markirt man am besten durch 
kurze scharfe quer durch AB geführte Striche. Hierauf legt man 4 und B auf 
die Schenkel eines gezeichneten rechten Winkels und sticht mit einer Copirnadel 
den Punkt P durch. Durch geeignete Wiederholung findet man soviel Punkte 
der Ellipse, als man nóthig hat. 
4. Um die Glei- Y 
chung des Orts der 
Punkte zu finden, de- NS 
ren Abstánde von EC 
zwei gegebenen ™ 
Punkten Z, und P, ™ T 
eine gegebene Diffe- 
renz 2a haben, nehmen — — — —75$ 7 
wir die Gerade F, 7, zur J 2 
Abscissenachse, die Senk- T wt 
rechthalbirende dersel- t 
ben zur Ordinatenachse; ve Cr 
bleibt die Bezeichnung 
so wie im vorigen Ab- 
schnitte, so hat man die (M. 357.) 
Gleichung 
  
  
  
  
  
yc 2- a)? p y* — y (c — 3)? -- y? — 2a. 
Hieraus folgt 
x? -- 9cx MP c? 4- y? — 4a? + 4a yx — c? 4- y? + x? — Zex + c? + y”, 
und nach Substraction von x2 + ¢2 + »2 und nachheriger Division durch 4e: 
und hieraus: 2x2 — 2a2cx + at = a?x? — Qalcx + a?c? + a?y?; 
woraus hervorgeht: 
1. (c? — a?)x? — a2y? — a? (c? — a?) =0. 
Es ergiebt sich ganz wie im vorigen Abschnitte, dass die Curve von der 
Abscissenachse Strecken O4, und OA, abschneidet, die gleich Æ à sind. 
Setzt man zur Abkürzung 4 fiir die positive Wurzel aus ¢2 — a?, und dividirt 
man die Gleichung 1. durch @?6?, so erhält man 
x? y 
a? 0? 
Diese Curve heisst Hyperbel Die Gleichung 2. lehrt, dass reale Werthe 
—1=0. 
von y nur dann der Gleichung entsprechen, wenn x? 7 a?; zwischen den beiden 
Geraden, welche im Abstande ==a parallel zur Ordinatenachse gezogen sind, 
liegt also kein Punkt der Hyperbel. Ist x = = a, so folgt.y — 0. Wiüchst x, so 
wüchst auch der zugehórige Werth von y, und wird x unendlich gross, so wird 
auch y unendlich gross. 
Berechnet man aus 9. x und y, so folgen die Formeln