Analytische Geometrie. 
Die Kugeln, welche die Schnittkreise einer Ebene Æ mit den 
Kugeln eines Bündels zu grössten Kreisen haben, bilden also wieder 
ein Bündel. Dieser Satz ist ein besonderer Fall eines allgemeineren, auf 
dessen Beweis wir hier nicht eingehen wollen. Die Kugeln, die durch die 
Kreise eines Kreisbündels gehen und deren Centra in einer Ebene 
liegen, bilden ein Kugelbündel. 
Die Chordalachse des Bündels 2. geht durch den Punkt, in welchem die 
Ebene Æ von der Chordalachse des gegebenen Bündels der Kugeln X getroffen 
wird, denn dieser Punkt hat für die Kreise #4, mithin auch für die Kugeln & 
gleiche Potenz. 
Construrt man nun den Nullkreis des Bündels $8, so sind die Punkte des- 
selben Kreise des Bündels 4 mit verschwindendem Radius, und die Kugeln X, 
welche durch diese Punkte gehen, berühren die Ebene XZ. Wir haben daher: 
Die Punkte, in denen eine Ebene Æ von den Kugeln eines Bündels 
berührt wird, liegen auf einem Kreise; das Centrum desselben ist der 
Schnitt der Ebene Z mit der Chordalachse des Bündels, der Halb- 
messer ist die Länge einer von diesem Punkte an eine Kugel des 
Bündels gelegten Tangente. 
15. Um die Kugel X eines Bündels zu construiren, die durch 
zwei gegebene Punkte À und B geht, lege man durch À eine Hülfskugel Z, 
welche eine Kugel X” des Bündels schneidet, und suche den Punkt C auf, in 
welchem die Ebene dieses Schnittkreises die Chordalachse des Bündels trifft. 
Verbindet man nun C mit A, so ist der Punkt D, in welchem CA die 
Hülfskugel zum zweiten Male schneidet, ein Punkt der gesuchten Kugel. Denn 
C hat gleiche Potenz für A' und # und gleiche für Æ' und X, folglich auch 
gleiche für A und Z7; folglich treffen X und # den Strahl CA, mit dem sie den 
Punkt 4 gemein haben, noch in einem zweiten gemeinsamen Punkte 2. 
Die Gerade, die durch das Centrum des durch A, B und D gehenden 
Kreises normal zur Ebene A B D gelegt wird, trifft die Centralebene des Bündels 
im Mittelpunkte der gesuchten Kugel.*) 
16. Um die Kugel X eines Bündels zu erhalten, die durch einen 
gegebenen Punkt 4 geht und eine gegebene Ebene Z berührt, be- 
stimme man zu 4 nach der vorigen Methode noch einen Punkt B der Kugel Æ, 
und schneide die Centralebene l' des Bündels durch die Ebene, welche 4 
normal halbirt; die Schnittlinie « ist dann der Ort der Centra aller Bündelkugeln, 
die durch 4 (und 7) gehen. 
Die Kugeln, deren Centra auf « liegen und welche die Ebene Z berühren, 
haben ihre Berührungspunkte auf der Normalprojection a' der Geraden a auf 
die Ebene Z. 
Construirt man nun in Z den Kreis 4 der Punkte, in denen Z von Kugeln 
des Bündels berührt wird, so sind die Punkte C' und 2', in welchen a' und Z 
sich schneiden, die Berührungspunkte der gesuchten Kugeln, und die Centren 
sind die Punkte C und 2, in welchen die Centralebene I' von den durch C" 
und Z2" gelegten Normalen zu Z getroffen wird. 
*) Die Ausführung dieser und der folgenden Constructionen über Kugelbündel nach den 
Methoden der descriptiven Geometrie kann dem Leser als nützliche Uebung empfohlen werden; 
man wird dabei mit einer Projectionsebene arbeiten und hierzu am besten die Centralebene 
des Bündels wählen. 
      
  
    
    
   
   
   
    
  
    
    
   
   
    
  
   
  
  
  
  
   
    
  
  
  
  
  
  
  
    
  
     
  
  
  
   
    
17. 
haben 
schloss: 
Bünde 
den Ge 
Halbiru 
Kugeln 
ß und 
gegeb 
18. 
erhalte: 
X Y-Eb 
Gerade 
En 
den Kt 
gleich 
gleich 
Quadra 
Orthog: 
Ist 
so ist 
dinaten 
Di 
tenuse 
der Ab 
G mit 
OQ - si 
Di 
man fü 
Hi 
Hi 
Di 
die ei 
selber 
und d. 
D 
Gerad 
zweier 
Es 
die ein