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17. Die Kugeln, welche zwei sich schneidende Ebenen Z und / berühren, 
haben ihre Mittelpunkte auf den Ebenen, welche die vier von £ und # einge- 
schlossenen Flüchenwinkel halbiren. Die Mittelpunkte der Kugeln eines 
Bündels, welche die zwei Ebenen Z und / berühren, liegen also auf 
den Geraden 8 und y, in denen die Centralebene des Biindels von den beiden 
Halbirungsebenen geschnitten wird. Die Construction der Centren der gesuchten 
Kugeln erfolgt wie bei der vorigen Aufgabe, wenn man « der Reihe nach durch 
8 und v ersetzt. Es giebt also vier Kugeln eines Bündels, die zwei 
gegebene Ebenen berühren. 
18. Um über die Mittelpunkte der Kugeln eines Bündels Auskunft zu 
erhalten, die eine gegebene Gerade G berühren, wählen wir die Centralebene zur 
X V-Ebene des Coordinatensystems, legen den Anfangspunkt in die Spur der 
Geraden G und die X-Achse in die Projection von G auf die X Y-Ebene. 
Ein Punkt 2 der XY-Ebene ist dann Centrum einer die Gerade G beriihren- 
den Kugel des Bündels, wenn der Abstand d des Punktes P von der Geraden G 
gleich dem Radius der Bündelkugel ist, die P zum Centrum hat, das ist also 
gleich der von 2 an eine Orthogonalkugel gelegten Tangente; also wenn das 
Quadrat des Abstandes gleich der Potenz des Punktes P in Bezug auf eine 
Orthogonalkugel gleich ist. 
Ist die Gleichung einer Orthogonalkugel 
K = x2 + 2 + 22 — 20x — 2By — 275 + 8 = 0, 
so ist die Potenz von P der Werth, welchen & annimmt, wenn man die Coor- 
dinaten von P(d. i. x, y, 0) einsetzt, also gleich 
x2 4+ 92 — Qax — 20y -- 6 — 0. 
Die Projection von P auf die X-Achse sei Q. Der Abstand d ist die Hypo- 
tenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks, von dem die eine Kathete PQ, die andere 
der Abstand des Punktes Q von der Geraden G ist. Ist nun ¢ der Winkel, den 
G mit der X Y-Ebene bildet, so ist die Entfernung des Punktes Q von G gleich 
OQ - sino; daher hat man 
d? — PQ? -- OQ? . sin? o — y? -- x? sin?o. 
Dies soll der Potenz von P2 für die Orthogonalkugel gleich sein; daher hat 
man für die Coordinaten von P die Gleichung 
x? + y? — Qax — 2By + 5 = x°sin2e + 9°. 
Hieraus folgt 
x? cos?p — Qax — 2By + à = 0. 
Hierfür kann man schreiben 
3 a? oh dcos2e — a? 0 
cos“ * Coste =— Z1 I  98ros!e zu. 
Dies ergiebt: Der Ort der Mittelpunkte aller Kugeln eines Bündels, 
die eine gegebene Gerade berühren, ist eine Parabel; die Achse der- 
selben ist normal zu der Geraden, die Coordinaten des Scheitels 
und der Parameter sind der Reihe nach 
a 8cos$? 9 — a? p 
cos o! - 98cos?q ? 
Es giebt daher vier Kugeln eines Bündels, die zwei gegebene 
Gerade berühren; ihre Centra erhált man als die Schnittpunkte 
zweier Parabeln. 
Es mag noch bemerkt werden, dass die Centra aller Kugeln eines Bündels, 
die eine gegebene Ebene Z berühren, auf einer Ellipse liegen, nämlich auf der