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S 5. Tangentenebene und Tangentialpunkt an Flächen zweiten Grades etc. 
9, T e ux -- vy + wz—1= 0 
genügen den beiden Gleichungen 1. und 2. Berechnet man aus 2. die Coordi- 
nate s — (1 — ux — vy): w und setzt diesen Werth in 1. ein, so erhält man eine 
Gleichung, durch welche die Coordinaten x und y der Schnittcurve mit einander 
verbunden sind, also die Gleichung der Horizontalprojection der Schnitt- 
curve; dieselbe ist vom zweiten Grade. Eliminirt man in gleicher Weise 
aus l. und 2. der Reihe nach y und x, so erhält man die Gleichungen der 
Verticalprojection und der seitlichen Projection der Schnittcurve; diese sind 
ebenfalls vom zweiten Grade. 
Um nun über die Natur der Schnittcurve selbst urtheilen zu kónnen, wählen 
wir auf der Horizontalspur der Ebene 7' einen Punkt O' zum Anfangspunkte 
eines auf 7' liegenden ebenen Coordinatensystems; die Abscissenachse O'& legen 
wir auf die Horizontalspur; OY sei die Ordinatenachse, O'Y' ihre Horizontal- 
projection. Die Geraden O'E und O'Y' bilden ein in der Ebene XO Y hegendes 
rechtwinkeliges Coordinatensystem; transformiren wir die Gleichung der Horizontal- 
projection der Schnittcurve auf dieses System, so erhalten wir eine Gleichung 
zweiten Grades zwischen den auf dieses System bezüglichen Coordinaten 
3. at? + 2087 + cn? + 2dE + Zen + fF = 0. 
Ein Punkt 2 der Schnittcurve und sein Grundriss /' haben dieselbe Ab- 
scisse E&, und zwischen der Ordinate des Punktes P und der Ordinate «' seiner 
Projection besteht die Gleichung *' — 7 cosa. Wir erhalten also die Gleichung 
der Schnittcurve in Bezug auf das Coordinatensystem EY, wenn wir in 3. «X 
durch «c0s« ersetzen; die resultirende Gleichung ist vom zweiten Grade. Dies 
zeigt: Eine Fläche zweiter Ordnung wird von einer Ebene in einer 
Curve zweiter Ordnung geschnitten. 
9. Um über die Schnittpunkte einer Fläche zweiter Ordnung f — 0 und einer 
Geraden Auskunft zu erhalten, kónnen wir folgenden Weg einschlagen: 
Ziehen wir durch einen Punkt P, eine Gerade, die mit den Achsen die 
Winkel a, 8, y bildet, so hat ein Punkt P dieser Geraden, der von Æ um die 
Strecke P,P = r entfernt ist, die Coordinaten 
2. X = %, + 76050, y=y, + reosh, z= 89 ck f0OT- 
Soll P auf f liegen, so müssen diese Coordinaten der Gleichung f = 0 ge- 
nügen; hieraus folgt für 7 die quadratische Gleichung 
A(xy + 7 cosa)? + 2B (xy 4- r cosa) (9, + 7 cosB) + 2C (xo +7 cos) (3, + 7 cosy) 
+ D(ye +7 cosB)? + 2E(y, +7 0058) (60 +7 cost) + F (29 + 7 cosy)” 
+ 2G (x, +7 c0sa) + 2H (y, +7 cosB) + 27 (59 +7 0057) + X = 0, 
oder, nach Potenzen von 7 geordnet: 
Fa + Al fen 005% + Fro' cosB. + Fog! 6051) 7 + (Acos?a + 2 B cosa cosQ 
+ 2Ccosa cosy + Dcos?8 + 2Æ cosBcosy + F eos?) r? = 0. 
Wenn man abkürzungsweise setzt 
fa'm-m Âx + By + Cs + G, 
4. f! em Bx + Dy + Es + H, 
[lm Cx + By + Fz +f, 
und durch angehängte Nullen, fo, froh fro)» Sao bezeichnet, dass ın der be- 
treffenden Function statt x, y, z die speziellen Werthe x,, yo, 29 gesetzt werden 
sollen. 
Aus 3. folgt zunächst: Eine Fläche zweiter Ordnung wird von einer 
Geraden in zwei (realen oder imaginären) Punkten getroffen. 
3. Nehmen wir an, dass 2, auf der Fliche liegt, so ist /, = 0; die qua- 
3.