232 Analytische Geometrie.
dratische Gleichung für = hat jetzt die Wurzel » — 0, welche dem Punkte 7,
entspricht; der zweite Schnittpunkt der durch Jy gehenden Geraden G und der
Fläche bestimmt sich aus der linearen Gleichung
l1 (Sze + cosa -- fg! - cos + fi + cost) + (Acos?a + 2B (osa cosB
+ 2C cosa cosy + D cos? 8. 4- 2 Æ cosB cosy + Feos?Dr = 0.
Wir fragen nun nach den durch 2, gehenden Geraden, die die Fläche
berühren, d. i. deren beide Schnittpunkte mit der Flüche in den Punkt PA,
fallen: Ist C Tangente der Flüche, so muss auch der aus l. sich ergebende
Werth von z gleich Null sein; die nothwendige Bedingung hierfür ist, dass das
von 7 freie Glied der Gleichung 1. verschwindet, also dass
2. Lao cote + so c05B + Fa! cosy = 0.
Ausser dieser Gleichung besteht noch zwischen cos a, cosB, cosy die Gleichung:
costa + cos?8 + cosy um].
Durch die Gleichungen 2. und 3.
man kann einen Werth, z. B. cosy beli
Werthe von cosa und cos aus 2. und
Fläche zweiter Ordnung lasse
an die Fläche legen.
Denkt man sich 7 stetig
Qo
sind cosa, cosB, cosy noch nicht bestimmt;
ebig annehmen und dann die zugehôrigen
3. ableiten. Durch einen Punkt einer
n Sich also unendlich viele Tangenten
geändert, so ändern sich auch « und ß und damit
die Lage der zugehörigen Tangente stetig; die Tangente beschreibt daher eine
bestimmte Fläche. Um die Gleicl
ıung dieser Fläche zu erhalten, haben wir die
Winkel a, B y aus der Gleichung 1. zu. entfernen und dafür die Coordinaten
eines Punktes 2 einer Tangente einzuführen. Nun ist, wenn p den Abstand Dp, P
bezeichnet:
X — X y—y Z—35
)
030 um m, QD um LS Om 9
p P P
Setzt man diese Werthe in 9. ein und unterdrückt dann den gemeinsamen
Divisor p?, so erhält man die Gleichung
: ! 4, ! ! > us
4. San fa ue Fu en) = 0,
Diese Gleichung ist linear für X, y, 2; Wir schliessen daher: Die Tangen-
ten, welche eine Flüche zweiter Ordnung in einem gegebenen Punkte
derselben berühren, liegen auf einer Ebene.
Diese Ebene heisst die Tangentenebene der Flüche im Punkte P-
Lóst man die Klammern in 4. auf, so ergiebt sich
y
p um AU HA Ju gets Yo + Fre “Po + foo + $9) = 0.
Aus den Formeln No. 2, 4 schliesst man sofort
6. fro rx + Fy Jo + Soo 2 =f, — (Gx, + Hy, - 729 4- K).
Da nun /, — 0, so erhält man
ETE + oa Jio daa — (Gxy + Hy, +/%; HA);
man hat daher die Gleichung der Tangentenebene
V ZiJ.yXGÓ- Jo cJ fy r8 4 Gxy + Hy, + J59 + K= 0.
4. Die Gleichung der Tangentenebene” ist nur dann un!
sammtliche Coefficienten verschwinden, wenn also
Sry = Ax, + By, + Czy + G = 0,
1 So = Bx, + Dy, + £a + H
: Seo! = Cx, + Ey, + a + J = 0,
Gx, + Hy, + J3 + K = 0.
Der Verein dieser vier linearen Gleichungen wird durch
ihrer Determinante bedingt
bestimmt, wenn
|
das Verschwinden
Die:
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drei Ebe
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Zeilen t
Punkt £F
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