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den Werth 
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8 3. Ellipse, Hyperbel, Parabel. 17 
Die Strecke 4(y'+y") ist die Ordinate der Mitte der Strecke zwischen 
den Punkten 7' und 7", in denen die Gerade die Parabel schneidet. Nach 
der Formel 6. ist diese Strecke nur abhängig von dem Verháltniss v : z, ist also 
unveründerlich für alle Gerade, welche dasselbe Verhiltniss 2: « haben; da 
dieses Verhiltniss gleich dem Verhältniss der Achsenabschnitte a: ist, so 
folgt, dass diese Geraden parallel sind. Für parallele Sehnen liegt also die Mitte 
in gleichem Abstande von der Abscissenachse, oder: 
Die Mitten paralleler Parabelsehnen liegen auf einer zur Achse 
parallelen Geraden. 
14. Ist 24 4- 5v? positiv, so schneidet die Gerade die Parabel in zwei 
Punkten 2’ und A".  Aendert man nun die Lage der Geraden so, dass 
254 -r- 5*7? kleiner wird, so nehmen die absoluten Werthe der Unterschiede der 
Abscissen x'— x" und der Ordinaten y' — y" ab, es nimmt also auch der Ab- 
stand PP ab, da PPyu — 70 + (7 —7)%, die Punkte # und 2" 
rücken also näher an einander. 
Wenn 2px + p20? verschwindet, so wird auch der Abstand P'P" ver- 
schwindend klein, und die Gerade schneidet die Parabel in zwei unendlich nahe 
benachbarten Punkten. 
Eine Gerade, die eine Curvé in zwei unendlich nahen Punkten schneidet, 
heisst Tangente der Curve. Die Bedingung dafür, dass die Gerade 7 
die Parabel berührt, ist also 
l. 2u + p0? =0. 
Die Coordinaten des Berührungspunktes ergeben sich nun aus den Formeln 
No. 13, 4. und 5. zu 
uu 5n 
2 yet s. ty 
u^ ^ 2 
Aus diesen Formeln kann man z und v berechnen, und findet zunichst 
„2 19 
; 1 po 1 y 
d= oem. 
u wu? u ? 
Da nun P' auf der Parabel liegt, so ist y'? = 2%x', mithin 
1 1 
3 E x—--9a, —um-— 
u U 
Da 1:% der Abschnitt der Tangente auf der X-Achse ist, so folgt: Jede 
Parabeltangente schneidet von der X-Achse eine Strecke ab, die der 
Abscisse ihres Berührungspunktes entgegengesetzt gleich ist. 
Ferner folgt y' = — po: uz pox’, oder da po’ = 1 y'2; 
4 b 
D. 
Die Strecke, welche eine Parabeltangente auf der Ordinaten- 
achse abschneidet, ist gleich der halben Ordinate des Berührungs- 
punktes. 
Um im Punkte P (Fig. 362) eine Tangente an die Parabel zu construiren, 
mache man also ,5,0 — O 7", dann ist S, die gesuchte Tangente. 
Da DO — OF und O5, — S,7", so schneiden sich ILZ und S,P in S,, 
und es ist 7,5, — S,Il. Da nun ZI ein gleichschenkeliges Dreieck ist, so folgt 
der Satz: 
Tangente und Normale der Parabel halbiren die Winkel des 
Radius vector und einer Parallelen zur Parabelachse — wenn wir als 
Normale die Gerade bezeichnen, die normal zur Tangente durch den Be- 
ScHLOEMILCH, Handbuch der Mathematik. Bd. II, 2