18 Analytische Geometrie. 
rührungspunkt gezogen wird, und mit Radius vector die Strecke, die den 
Brennpunkt mit einem Parabel- (bez. Ellipsen-, Hyperbel-)punkte verbindet. 
Die Gleichung der Parabeltangente im Punkte P' erhält man, wenn 
man die gefundenen Werthe für z und 7 in die Gleichung der Geraden 
ux + vy — 1 =0 einfiihrt, zunächst in der Form 
x 
x! 
2 
2 _1=0 
y 
Hierfür kann man setzen 
Bes dr WE, 
TT y? = y VE 
nach Multiplication mit 4 y? ergiebt sich die Gleichung der Tangente zu: 
Pays o 
15. Die Coordinaten der Punkte, welche eine Gerade 7' und eine Ellipse 
gemein haben, sind die Werthe von x und y, welche die Gleichungen 
1. der Geraden: ux+vy—1=0 
9 d der Ellipse: AS Pda 
9. und der Ellipse: ar nT 1= 
zugleich befriedigen. Aus der Gleichung 1. folgt 
3 zi 
v UV 
Dies in 2. eingesetzt, ergiebt 
1 e u? j Qu uc 1 1 0 
> mel l= a CY 250 3 75d —— 
a PP poU pp ? 
und nach Multiplication mit 22/222 ; (a?22 + 02v? 
  
2509 a?u a2(1— P222) 
. N TU 1 7929 — 
“au? + py a2u2 + 02? 
In gleicher Weise ergiebt sich für y die quadratische Gleichung 
9 9 9,9 
2 2(1 — a274 
5. y? — o E As y —+ ad EE cili ) — 
au? + Bu? au? + Bu? 
Sind x', x, die Wurzeln von 4, sowie y’, y" die von 5, so gehôrt nach 
Gleichung 1. zu jeder der beiden Wurzeln x' x' eine bestimmte Wurzel von 5.; 
die zusammengehórigen Werthe mógen x' und y', x” und y" sein. 
Die Gleichungen 4. und 5. lehren: Eine Gerade hat mit einer Ellipse 
nicht mehr als zwei Punkte gemein. 
Sind Z' und 2" die zu den Coordinaten x'y' und x" y" gehórenden Punkte, 
so ist nach 4. und 5. 
1 atu 1 By 
a0 — rap 3007070 guid 
Die linken Seiten dieser Gleichungen sind die Coordinaten & nm der Mitte 
von 2'P'; man hat also 
a?u By 
— qiy?-r- Mu?) "n @u? + Bu?” 
woraus folgt: 
e i-a. 
Für alle Ellipsensehnen, welche dasselbe Verhültniss 7:2 haben, haben 
also auch die Coordinaten der Sehnenmitte ein constantes Verhältniss, d. i.: 
Die Mitten paralleler Sehnen einer Ellipse liegen auf einer Ge- 
raden, die durch den Schnittpunkt O der Symmetrieachsen geht. 
Hieraus folgt noch, dass alle Ellipsensehnen, die durch O gehen, in O 
      
  
  
  
  
  
   
   
   
  
  
  
   
     
   
   
   
    
   
    
   
  
   
   
  
   
  
  
  
   
  
   
  
   
  
  
   
   
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