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Homogene Coordinaten des Punktes und der Ebene etc. 305 
des Tetraéders übrig bleiben, wenn man von derselben das Tetraéder abschneidet; 
sechs sind keilfórmige, von je zwei dreiseitigen Ecken gebildete an den Kanten 
des Tetraéders aussen anliegende Figuren. 
Liegt ein fünfter Punkt auf keiner der Ebenen des Tetraéders, so kann er 
zunächst im Innern des Tetraéders oder an einer der an den Tetraéderecken 
aussen anliegenden dreiseitigen Ecken liegen; in jedem Falle liegt dann einer der 
fünf Punkte 47 CD E im Innern des von den vier andern bestimmten Tetraéders. 
Denn nimmt man z. B. E im Innern der an A gelegenen Ecke an, so liegt 4 
im Innern des Tetraéders ACD E. Befindet sich hingegen Z in einem der vier 
dreieckigen, an den Tetraéderflüchen oder in einem der sechs zweieckigen, 
an den Tetraéderkanten aussen anliegenden Gebiete, so liegt immer einer der 
fünf Punkte in dem an einem Dreiecke des von den vier andern bestimmten 
Tetraéders aussen anliegenden Raumtheile; denn ist Æ z. B. in dem an DC 
liegenden keilfórmigen Gebiete, so liegt offenbar .D in Bezug auf das Tetraéder 
ABCE in dem an ZA aussen anliegenden Gebiete. 
Wir beweisen nun folgenden Satz: Für je fünf Punkte 4, B, C D E 
des Raumes ist 
l- EABC — EBCD + ECDA — EDAB = DABC, 
oder, in anderer Anordnung 
2. ABCD + BCDE + CDEA + DEAB + EABC — 0. 
Nimmt man zunächst an, einer von den fünf Punkten liege im Innern des 
Tetraéders der vier andern, und bezeichnet diesen mit A, die andern mit 4, 5, 
C, D, so ist ersichtlich, dass die vier Dreiecke 
ABC, BAD, CRD, CD 
von X aus gesehen in gleicher Drehrichtung erscheinen, und zwar in derselben, 
wie ABC yon D aus. Daher haben die fünf Tetraéder 
Z4BC, EBAD, ECAD, ECDA4, DABC 
gleiche Vorzeichen. 
Nun ist, abgesehen noch vom Vorzeichen, die Summe der vier Tetra&der, 
welche die Seiten eines Tetraéders 42C.D zu Basen und einen Punkt im Innern 
desselben zur gemeinsamen Spitze haben, gleich dem Tetraéder ABCD; man 
hat daher die nun auch in Bezug auf die Vorzeichen genaue Gleichung 
9 
à LABC+ EBAD + ECBD + ECDA— DABC. 
TE 
Da nun ZBAD und EDAB, sowie ZCBD und rn A > 
ÆBCD Permutationen ungleicher Klasse sind, so ist / t 5 X 
EBAD = = EDAB, ECBD — — EBCD; 
indem man dies in 3. einführt, erhält man 1. und durch t E ( j 
geeignete Permutationen hieraus 2. \ 
Um die richtige Aufeinanderfolge der Buchstaben in N. Dn d 
2. sicher und leicht zu treffen, kann man die fünf Buch- bcd 
staben in der Reihenfolge 42 C D E hinter einander an die et d 
i 
Peripherie eines Kreises schreiben. 
ud NS 
Man hat nun, von jedem der fünf Punkte anfangend, 2 À 
und immer in derselben Richtung fortschreitend, je vier auf jg 0% 
einander folgende Punkte aufzuschreiben. \ J 
Vertauscht man irgend zwei benachbarte der fünf 
N 5 / 
Buchstaben, z. B. B und C, so erhált man die beistehende NP RB uh 
Hülfsigur, und daher für die Summe 2. die Tetraéder ee 
ACBD, CEDE, BDEA, DEAC,. EACH. (M. 458.) 
ScHLoEMILCH, Handbuch der Mathematik, Bd. II. 20