Analytische Geometrie.
Daher liegen zwei Ecken A,, 4, jedes Polartetraéders mit dem Centrum
auf derselben Seite der Fläche, die beiden andern 4,, A, werden durch die
Fläche vom Centrum getrennt. Das Centrum liegt, da zwei Coordinaten positiv,
die andern beiden negativ sind, in einem an einer Kante anliegenden zwei-
eckigen Raume. Giebt man f die Form
f == ls ap 24 s x d ^ I ^ |
T. by 7g es bg ls 3 0174 mg bs a |
1 1 1 1
-- [s A 9 - b A, %) (rr Wa = b A, x) — 0,
und setzt
1 ] 1 1
Tp 4c > 4%, = T Ky x, == TE
bi fy 1 bh. * 12 DA. * bi 1 1
171 2/55 2/9 474
1 1 T 1 1 p
Xm WX. c £ULAMY.em 7 Xe — —- X, mS — 1,
57 57; 5 2 5,53, 72 bly 2
so wird der Gleichung der Fliche durch die Punkte geniigt, fiir welche bei will-
kürlicher. Wahl des Verhältnisses w, :p, die beiden Gleichungen gelten
TI val TI 7 |
ply =:0,71,, BT uu, 7...
welche also den beiden Ebenen gemeinsam sind
77 y Va as ) pie gd gd
1= ml 5.75 — 0, 7, = p,7, al, = 0.
Diese Ebenen sind entsprechende Ebenen zweier projectiven Ebenenbüschel,
in denen 7, und 7, den Ebenen 7
und 75' entsprechen.
Dies charakterisirt die Fläche als einschaliges Hyperboloid.
20. Ist in der Gleichung
9 = Bu? + Bou? + B,42 + Bu? = 0
kein Coefficient Null oder unendlich und die Summe der Coefficienten
B4 = Ba + Pa "i By = 0,
so sind die Coordinaten des Centrums unendlich gross, und die Fliche
ein Paraboloid (No. 14). Alsdann haben entweder drei, oder zwei Coefficienten |
gleiche Zeichen.
A. Haben drei Coefficienten dasselbe Zeichen, so kann man die Gleichung |
2 |
schreiben |
9 = bul + bul -- bug — PQug —O0.
Daher ist die Gleichung in Punktcoordinaten
f 1 $4 1 > 1 > 1 » 0
m 15275 X2 + 175 X2 +5522 — os a2 = 0. |
229 í 3953 4$ 7052722 "1 2752 "4
bE hi 0242 6222143 02i |
Setzt man in beiden Gleichungen der Reihe nach z, — 0, x, — 0, so er- |
giebt sich
1
ógug2 -- b2u2 -- b2u2 — 0 bez =a + 1925 X2 ++ —— «2 =0.
D^ 2°a 55 ’ eds $29 40. 337373 272 *3
ds bj 63 ^3 63 hi
Beiden Gleichungen kann durch reale Werthe des Coordinaten nicht ge-
nügt werden. Wir sehen daher: In jedem Polartetraéder giebt es eine
Ecke, durch welche sich keine realen Tangentenebenen der Fláche
legen lassen, und die dieser Ecke gegenüberliegende Seite des
Tetraéders hat mit der Fláche keine realen Punkte gemein.
Hierdurch ist das elliptische Paraboloid charakterisirt; denn eine gerad-
linige Fläche wird von jeder Ebene in realen Punkten getroffen, und sendet
durch jeden Punkt des Raumes reale Tangentenebenen.
Für die Coordinaten der Ecken des Achsentetraéders nimmt die Function /
die Werthe an
Hier
trennt si
schneider
PB. 1
Gleichun
Die
Man
No. 19, C
Parabol
Für
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trennt, wi
geschnitte
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Fläche in
21.
welche
Wir
Gleichung
Die I
7t:
ZL =
Soller
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1.
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9. (
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setzt man «