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336 Analytische Geometrie. 
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vier Wurzeln der Gleichung 3. vier verschiedene Systeme zur Bestimmung der 
Coordinaten x;,. Bezeichnet man mit o;; den Coefficienten des £-Elements der 
4ten Zeile von C, so hat man 
4. #10 * Fan * Bags Zap 
wo nun die a; für die vier Wurzeln \ im Allgemeinen verschiedene Werthe an- 
nehmen Es giebt somit vier Punkte im Raume, die für zwei Flächen 
IL O. dieselbe Polarebene haben. 
Ist I, ein Punkt, der für / und f dieselbe Polarebene 7’, hat, und hat Il, 
für / und f. dieselbe: Polarebene. 7,, so liegen Il, auf 7, und Il, auf- 7. 
Denn angenommen, ll, làge nicht auf 7, mithin auch ll, nicht auf 7,, so be- 
trachte man auf der Geraden Il, Il, die beiden Involutionen (No. 12), deren 
Paare durch die Punkte dieser Geraden und durch die Schnittpunkte derselben 
mit den Polarebenen der Punkte in Bezug auf / bez. / gebildet werden. Diese 
beiden Involutionen haben zwei gemeinsame Paare, nämlich die, zu welchen 
À, . Oo : Qs 1 Q4 
Il, und Il, gehôren. Wenn aber zwei Involutionen zwei gemeinsame Paare 
haben, so sind sie identisch. Folglich treffen die Polarebenen jedes Punktes Il 
der Geraden Il, II, in Bezug auf # und f diese Gerade in demselben Punkte; 
da sie nun ausserdem beide durch den Schnitt von 7, und 7°, gehen, so sind 
sie identisch. Es fallen also für elle Punkte der Geraden Il, Il, die Polarebenen 
bezüglich / und f zusammen. Dies widerspricht der Thatsache, dass die 
Gleichung C — 0 im Allgemeinen nicht durch unendlich viele Wurzeln 4 erfüllt 
wird, sowie dass im Allgemeinen nicht für eine Wurzel A der Gleichung C — 0 
die vier Gleichungen des Systems 2. sich auf zwei Gleichungen reduciren, in 
welchem Falle allerdings alle Punkte auf dem Schnitte der durch die beiden 
übrig bleibenden Gleichungen dargestellten Ebenen zusammenfallende Polar- 
ebenen haben würden.*) 
Hieraus folgt, dass im allgemeinen Falle, wenn nicht mehr als vier Punkte 
vorhanden sind, deren Polarebenen für / und 7 zusammenfallen, die Polarebene 
jedes der vier Punkte Æ durch die drei andern geht. 
Zwei Flàchen IL O. haben also ein gemeinsames Polartetraéder. 
Hat die Gleichung C — 0 vier reale Wurzeln, so sind alle Ecken dieses Tetraé- 
ders real. Hat € = 0 em Paar conjugirt complexe Wurzeln, so sind zwei 
Ecken des Tetraéders und die ihnen gegenüberliegenden Ebenen real; die Ge- 
rade der beiden realen Ecken und die Schnittlinie ihrer Polarebenen bilden zwei 
Gegenkanten des Polartetraéders und sind für beide Flüchen / und 7 conjugirte 
*) Von der Richtigkeit dieser Bemerkungen überzeugt man sich, indem man die Gleichungen 
zweier Flàchen bildet, die ein gemeinsames Polartetraéder haben. Die Gleichungen in Bezug 
auf dieses Tetraéder seien 
Femi xf tba? +b, 32 40,22 = 0 fa, ri +4,02 + ax) Has = 0 
Die Gleichung .C — 0 wird jetzt (@, — À2,) (a, — A6, ) (a4 — A54) (a, — ^,2) = 0, 
2 5 3:6, 
Aus den Gleichungen 2. ergeben sich, wenn die Verhältnisse der ¢ von den Verhiltnissen 
und ersiebt für À die vier Auflosunsen a, 146, ;' a, : 621 0 184, a 
der entsprechenden 2 verschieden sind, die Ecken des Achsentetraéders als Lösungen der Aufgabe. 
Nur dann, wenn zwei Coefficienten in / dasselbe Verhàltniss haben, wie die entsprechenden 
in Z7, tritt eine Abweichung ein. Ist z. B. a, 20, — 0, : 0,, und sind t f. die. Coordinaten 
eines auf 4,4, liegenden Punktes 7, so sind die Polarebenen von P 
2, 5, "m cb 2,5, #2, =m 0, bé, um, c 0, t, x, =, 
und diese sind identisch, da -4, : 5, — a, 10, 
Ist a, : 4, : 4, — 06,:5,:0,, so haben alle auf À, À, À, liegenden Punkte dieselbe 
Polarebene für / und PF. 
  
      
    
    
   
    
    
  
  
  
  
  
   
    
    
   
    
    
    
  
   
    
   
    
     
  
   
     
   
   
   
    
        
   
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