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8 12. Polarebene und Pol für Fláchen zweiter Ordnung. 337 
Gerade. Hat C — 0 keine reale Wurzel, so sind die gleichbezifferten Coordi- 
naten je zweier Punkte, welche einem Paare conjugirt complexer Wurzeln von p. 
zugehóren, conjugirt complex; daher werden auch die Gleichungen der Polar- 
ebenen zweier solchen conjugirt complexen Punkte conjugirt complex. 
Aehnlich, wie die Bemerkungen über conjugirt complexe Punkte und Geraden 
in der Ebene, leitet man die Sátze ab: Zwei conjugirt complexe Punkte 
genügen den Gleichungen einer durch sie bestimmten realen Geraden. 
Zwei conjugirt complexe Ebenen haben eine reale Schnittgerade. 
Daher schliessen wir: Zwei Flächen IL O. haben in jedem Falle ein 
Paar reale conjugirte Gerade gemein. 
Diese Untersuchung kann auch mit Hülfe der Gleichungen in Ebenen- 
coordinaten durchgeführt werden. 
Sind du? + dzuß + dyug + drug = 0 
und 61174. + 2c 0009 +... +c ul = 0 
die Gleichungen von # und / in Ebenencoordinaten, .so erhält man die Coordi- 
naten der Ebenen, deren Pole für / und Z zusammenfallen, aus drei Gleichungen 
des Systems 
(644 — Ad, ) #4 + 6199 97d^ €4134 a + 61444 = 0, 
5 Cray + (Cog — Ade) us + bogty + Coyu, = 0, 
9. i f ) = — ( 
£189, 7E C339 + (C33 — Ady) uy + cy, uy = 0, 
C14%1 + C94%9 + C34%3 + (644 —\d,)@, = 0, 
wobei À eine Wurzel der Gleichung ist 
leur Ad, ‘19 ‘13 C14 | 
; T £19 £937— Mf ‘as ‘24 | xis 
6. == Ad =. 
‘13 ‘23 C337 ^03 C34 
C14 ‘94 C34 £44— d, 
  
Die Gleichungen C — 0 und l' — 0 haben daher immer die gleiche 
Anzahl reale Wurzeln. 
22. Die soeben mitgetheilte Untersuchung hángt aufs Engste zusammen mit 
der Frage nach den Kegeln IL O., die durch die Schnittcurve zweier 
Fláchen IL O. gehen, sowie mit der Frage nach den Grenzflichen IL KL, 
die den gemeinsamen Tangentenebenen zweier Flüchen IL Kl. einge- 
schrieben sind; oder allgemeiner: mit der Frage nach den Kegeln IL. O., die 
zu einem Flüchenbüschel IL. O. gehóren, bez. nach den Grenzflächen, die zu 
einer Schaar von Flichen II. KI. gehoren. 
Sind / und / zwei quadratische Functionen in Punktcoordinaten 
S= ay xf + 20,020) +... +a, x2, 
£m by Af + D652, % + 54.2, 
So versteht man unter einem Flichenbiischel II. O. die Gesammtheit aller 
Flächen, deren Gleichungen unter der Form enthalten sind 
2. m= hf Fe, 
Alle Punkte, für welche f= 0 und zugleich /— 0, genügen auch der 
Gleichung ¢ = 0. Jede Fläche des Büschels enthält also alle den Flächen sm 
und 7 — 0 gemeinsamen (realen oder imaginären) Punkte. 
Umgekehrt: Alle Flächen II. O., die durch eine gegebene Raumcurve IV. O. 
l. Sp. gehen, bilden ein Büschel Denn es ist in 8 9, No. 3 nachgewiesen 
worden, dass die Gleichung jeder dieser Flächen die Form 2. hat, wobei f — 0 
und # = ( die Gleichungen zweier bestimmten, die Raumcurve enthaltenden 
Flüchen IL O. sind. Ferner folgt aus $9, No. 2: Durch acht Punkte, die nicht 
ScuLoEMILCH, Handbuch der Mathematik. Bd. II. 22