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$ 12. Polarebene und Pol für Flüchen zweiter Ordnung. 
A. Daher ist die Gleichung der Polarebene des Punktes A 
T= (1/10 +23) x00 is UU + da F40)%40 = 0, 
oder 
1, Te), 7, + o7 zm 0, 
wobei 
9 IT, = fox, + #20 Xa + fao Xa + fao' x, = 0, 
T, == FEX, + Fac 42 + Fan ta + Za, 0 
die Gleichungen der Polarebenen von P, bezüglich der Flüchen /-— 0 und 
F-—0 sind. Hieraus folgt: Die Polarebenen eines Punktes in Bezug 
auf die Flächen eines Büschels II. O. bilden ein Ebenenbüschel; die 
verschiedenen Punkten zugehórigen Büschel von Polarebenen sind 
projectiv. 
Die der Geraden JJ, in Bezug auf ¢ = 0 conjugirte Gerade ist der 
Schnitt der Polarebenen von 2, und P, bezüglich e — 0; diese beiden Polar- 
ebenen sind entsprechende Ebenen der beiden projectiven Polarebenenbüschel, 
die den Punkten P, und 2, in Bezug auf die Flüchen des Biischels zugehôren. 
Daher folgt: Die Geraden, welche einer Geraden y in Bezug auf alle 
Flächen eines Büschels conjugirt sind, bilden ein System von Ge- 
raden einer Regelfläche IL. O.; die Geraden des andern Systems auf 
derselben Regelfliche sind die Triger der Polarenbiischel, welche 
den Punkten der Geraden y in Bezug auf die Flichen des Biischels 
zugehören. 
B. Die Gleichung des Poles einer Ebene 7, fiir die Fliche einer Schaar 
9 == A Jf+ AF = 0 ist 
Pe QA cA FM 4-0 Za! cA Fe) #7 = 0. 
Daher hat man 
t us P= MP, +kP, =0, 
wobei 
4. P, em fio 44 ch ao! Hat aol ts Ag in, = 0, 
La == Lao uy + Fy ug ok Feli gy b Fg, m0 
die Pole von 7, in Bezug auf / — 0 und /-— 0 sind. Man schliesst hieraus: 
Die Pole einer festen Ebene in Bezug auf die Flichen einer Schaar 
liegen auf einer Geraden. Die geradlinigen Polreihen, welche irgend 
zwei Ebenen in Bezug auf die Flächen der Schaar zugehören, sind 
projectiv. 
Die Pole zweier Ebenen 7, und 7, in Bezug auf die Flüche 
9 == À, / + A370 
sind entsprechende Punkte der beiden projectiven zu 7, und 7 gehörigen Pol- 
reihen; ihre Verbindungsgerade ist die dem Durchschnitt der Ebenen Z5 und 7, 
in Bezug auf e conjugirte Gerade. Daher folgt: Die Geraden, welche einer 
Geraden 4 in Bezug auf die Flüchen einer Schaar conjugirt sind, 
bilden die Geraden eines Systems einer Regelfliche I. Q.; die Ge- 
raden des andern Systems derselben Regelfläche sind die Träger 
der Polreihen, welche den durch die Gerade y gehenden Ebenen in 
Bezug auf die Flächen der Schaar zugehören. 
Das Centrum einer Fläche II. O. ist der Pol der unendlich fernen Ebene; 
daher folgt: Die Centra aller Flächen einer Schaar liegen auf einer 
Geraden. 
Wenn ein Paar Pol und Polarebene für beide Flächen / und Z zusammen- 
gehören, so gehören sie auch für jede Fläche des durch f und / bestimmten 
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