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Differentialrechnung.
determinante der Functionen F1» Jar F3» + «nicht identisch gleich
Null.
Wenn die Functionaldeterminante / identisch (d. h. unabhängig von den
Werthen der x,, X, ... X„) verschwindet, so sind die in Bezug auf die Un-
bestimmten Zx,, Zx4, . . 4x, linearen Gleichungen 1. nicht unabhängig von
einander; es ist entweder eine Gleichung eine Folge der übrigen, und dann kann
man (z—1) der Gróssen Zx,, 2x4, . . . durch die ate ausdrücken, so dass alle
72 unbesümmt bleiben, aber ihre Verhiltnisse bestimmt sind; oder zwei der
Gleichungen 1. folgen aus den übrigen, und dann kann man (n—2) der Grössen
4x, .. durch die übrigen beiden ausdrücken, u. s. w.- In diesem Falle haben
die Verháltnisse der die Gleichungen 1. befriedigenden Gróssen bestimmte oder
nicht völlig bestimmte Werthe; die Grössen X1; X9, X3, . . . x, sind alsdann
trotz der z Gleichungen /, — Jo =. = f, == Q noch variabel .Hieraus
folgt weiter, dass in diesem Falle diese Gleichungen 1. die Gróssen x, , . . . x, nicht
vôllig bestimmen, dass also zwischen den Functionen Lis Lav» Ja ete odér
mehr als eine Gleichungen bestehen, welche die Grôssen X4, . . X, nicht expli-
cite enthalten, die also von der Form sind
T Las F3» see Sn) = 0,
so dass in Folge dieser Gleichungen eine oder mehr als eine der Functionen
fi» 3)... f» einen constanten Werth für alle diejenigen Werthsysteme der
X,, €X9,.. x, erhált, welche den übrigen Functionen /; constante Werthe ertheilen.
Wir erhalten somit: Die ausreichende und nothwendige Bedingung
dafür, dass z Functionen Tr Ser Sa Sa von 4 Variabein 34, 45,
mi x, nicht unabhängig von einander sind, ist das identische
Verschwinden ihrer Functionaldeterminante*)
EA: a A Fon
7 == | a Sas Jos + - ‚San
4 Son Pas + ul
6. Aus dem bisher Mitgetheilten ergiebt sich leicht, wie man das totale
Differential einer unentwickelten Function mehrerer Variabeln zu
bilden hat. Ist nämlich die Abhängigkeit der Grösse y von den unabhängigen
NVariabeln »,, . ... x, durch eine Gleichung gegeben
TX Hoy Wyn sie ily) we 0,
so folgt, wenn man der Reihe nach nur eine der Unabhingigen verändert, die
andern aber unverändert lässt
OF oy OF OF Py oF CH 92» ol
^uem t En ES By Ox. Pa,
Multiplicirt man diese Gleichungen der Reihe nach mit dxi, dx, dx... 03
und addirt, so erhält man
0
y
0, fcm i
ON
«
o» A4 EE = 0,
03 Ox) dx,
= ().
0s py a N AR oF OF
GE d tx. dx, +, EA. d, En + 7 x. +. GE. dx, zu.
Der Klammerinhalt ist das totale Differential der Function y; daher ist
dasselbe aus der Gleichung bestimmt
or oF oF oF
Endy umd ah ae gp, de Lo dx, = 0.
oy ox, OX, ox,
*) Vergl. u. A. BALTZER, Theorie und Anwendung der Determinanten. 4. Auflage.
7.
A.
elliptisc
Zeichen
sich zu
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B
bindung
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Gleichu
wobei :
8.
so kani
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2.
hieraus