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D tod 
zd. 
2 X 2 
xs dx 
dx, 20. 
daher ist 
4. Auflage. 
§ 4. Differential einer Function mehrerer Variabeln. 405 
7. Wir erläutern den Inhalt dieses Abschnitts an einigen Beispielen. 
A. Ist z = ax? + By?, so ist die zu dieser Gleichung gehörige Fläche ein 
elliptisches oder ein hyperbolisches Paraboloid, je nachdem « und ß gleiche 
Zeichen haben oder nicht. Die partialen Differentialquotienten von z ergeben 
sich zu 
03 03% 
20%, dy == 2p y, 
  
0x 
also folgt das totale Differential 
ds = Quxdx — 2Bydy. 
B. Ist z — /(x, y), und kommen x und y in / nur in der linearen Ver: 
bindung ax + By + y vor, so kann man, wenn man ax + By + y = 4 setzt, 
f zunächst als Function von æ betrachten, und hat demnach 
ef 67 du of df Tw 
óx ou Ox! y = du oy’ 
Hieraus folgt weiter 
af ou of ou 
  
    
dz == 25a 49 "ee m dy, und mithin 
df (Ou ou 
ds = A dx #7 . 
du \0x Öy 
Der Klammerinhalt ist das totale Differential von z; daher folgt schliesslich 
af 
dy == u. 
7 du ^" 
In der That ist jede Veránderung von x und y nur eine Veránderung von 
4, und man hàáàtte daher vorhersehen kónnen, dass die dadurch bedingte Ver- 
inderung von z nach den Regeln für das Differential einer Function einer ein- 
zigen Variabeln (æ) zu bilden ist. Ganz dasselbe gilt, wenn x und y in irgend 
einer andern, aber nur in einer Verbindung @(x, y) in der Function / auftreten. 
C. Ist z als Function von x und y durch die Gleichung definirt 
(x? -- y? 4- 22)? — (a?x? + 5292 + 232) = 0 
so hat man, wenn man die linke Seite mit / abkürzend bezeichnet 
  
of d + DA D 2G? LB? s 0(a? x? -- 0?y? -- c?2?) 
Ex 308 = + 32) ox Ox 
= 2(x? + y? + 2%). 2x — 24%x — 2x(2(x? + y? + = a?|. 
In gleicher Weise ergeben sich 
i y[(x2 --- 9? -- 22) — ’ 22[2(x2 + y? + 2%) — c?]. 
Daher hat man schliesslich zwischen den Differentialen dx, dy, dz die 
Gleichung 
x(272 — a?) dx + y (27? — b2)dy +3272 — 2) dz = 0, 
wobei zur Abkürzung x2 + y? + z? — 7? gesetzt worden ist. 
8. Ist f eine Funktion von x, y, z, und ersetzt man diese Variabeln durch 
u= 4% + by + cz, 
1. vy = dx + Uy-+ 3, 
w = a'x + d'y + c'z, 
so kann man das totale Differential von / durch z, v, w und du, dv, dw aus- 
drücken. Aus 1. folgt 
du — adx + b dy + ¢ dz, 
2. dv = ddx + à dy -- c dz, 
dw = a'dx + b'Ay + c'dz; 
hieraus ergeben sich Auflósungen von der Form