eiben 
u OP und 
bnormale 
n, driicken 
erhält man 
in y' und 
symptoten, 
. complex; 
|. das Cen- 
arallel der 
man die 
>ben wird, 
erade zur 
wird ein 
4,04: 1 
Seite der 
chse rollt, 
| die Cy- 
de ganz 
der posi- 
| Seite der 
chse ge- 
nist. Die 
sten Ordi- 
n haben 
Länge 2a 
gehören 
n Punkten 
      
   
§ 5. Tangente, Normale und Tangentialpunkt ebener Curven. 413 
der X-Achse, welche die Strecken OO,, O,0,, O,0, .. . halbiren; nehmen 
wir O zum Nullpunkte, so gehóren sie zu den Abscissen ... — 36x, — ar, 
+ aw, -- 32r. 
oder allgemein zu (24 -- 1) 2x, wührend für die Abscissen 
24ax die Ordinate verschwindet (wobei Æ eine positive oder negative ganze Zahl 
bezeichnet). 
Ist BZ die Lage des Centrums des rollenden ‚Kreises in dem Augenblicke, 
in welchem der die Cycloide beschreibende Punkt P die in der Figur bezeichnete 
Stelle erreicht hat, so folgt aus der Definition, dass der Kreisbogen 7" gleich 
der Strecke OB! ist. 
Bezeichnet man mit 7 den Arcus des Winkels PBB' (des 
Walzungswinkels) so ist PB’ = OB"— at Ferner ist x = OF = OB! 
E PHn!, y= P'P = B'B 
B Prost, und daher 
X = at — asint = alt — sin ft), 
r y=a —acost=a(l — cost). 
Hieraus ergeben sich die Differentiale 
da — all — cost) dt = yd, 
> dy = asintdi — (at — x)dt. 
Aus 2. folgt der Differentialquotient 
; sn t at — x 
d mm qm i rer 
1 — cost y 
Dies ergiebt Swinormale =3y = asınt = at— x = PB. 
Folglich ist 25' die Normale, und daher P2 die 'Fangente der Cycloide 
im Punkte Z 
7. DieEpicycloide. 
festen Kreises; die zwischen zwei auf 
einander folgenden dieser Punkte 
liegenden Bogen des festen Kreises 
sind dem Umfange des rollenden 
Kreises gleich. Wir nehmen das 
Centrum des festen Kreises zum 
Nullpunkte, und legen die Abscissen- 
achse durch 4. Ist B die Lage des 
Centrums des rollenden Kreises, 
wenn P die in der Figur bezeichnete 
Lage erreicht hat, sind à und a die 
Radien des festen und des rollenden 
Kreises, und ist arc COA = 6, so 
ist der Kreisbogen CA gleich bg, 
und ebenso gross ist nach der 
Definition der Kreisbogen CZ; daher 
ist arc PBC = by: a. 
Projection von OBP auf OX, bez. OV. 
  
(M. 478.) 
den Winkel (LB, x) = PBC + COA — 180° bildet, so ist 
arc P x) z ?-2-79——5 
Daher findet man 
a+b 
a 
b 
x = OB:-cosq 4- B Pcos ( = Q-— 
  
qe 
4 
  
   
  
_ ZEN T 
E . © T. 
Die Epicycloide wird von einem Punkte 2 eines Kreises 
beschrieben, der auf der Peripherie eines festen Kreises rollt, ohne zu gleiten. 
Der Punkt P kommt dabei unzáhlige Male auf Punkte 4, 4,, 4,, 4,... des 
Die Abscisse und Ordinate von 2 ergeben sich durch 
Da nun BP mit der Abscissenachse