Differentialrechnung. 
Tr 
4 
T Ó 
y = Zn — J = BPos(5 EE 
Hieraus ergiebt sich schliesslich 
  
  
  
  
a + 6 
x = (a + b)coso — acos ©, 
1. 
: . «4-5 
y = (a + b) sing — asin ©. 
Durch Differentiation erhält man 
: AO 
dx = (a + D) (— sing + sin — — J de, 
2. 
a b 
dy = (a + 6) ( (OS = LOST m 3 de. 
Hieraus folgt weiter 
d dy a+b { _a++ ZA 
2. je eu (oso (0$ — Of i qQ sing) ; 
dx a a 
Wendet man die goniometrische Formel an 
cosa — cos B af 
C MT, 
so erhält man 
dy b 
4. n= tang (: + So e) : 
Ist D der Gegenpunkt von C, so ist arc PDB = } arc PBC = be : 2a und 
da (PD, x)= PDB + COA, so folgt 
b 
2a 
  
arc PD, x = ¢ + 
Vergleicht man dies mit 4., so ergiebt sich, dass P7 die Tangente der 
Epicycloide in P und mithin PC die Normale ist. 
8. Ist die Gleichung Z(x, y) = 0 algebraisch vom zten Grade, so sind die 
partialen Differentialquotienten € 7: 6x und € F:6y beide vom (z — 1)ten Grade, 
oder einer von ihnen ist von einem noch niedrigeren Grade. Fragt man nach 
den Tangenten der Curve, die‘durch einen gegebenen Punkt II der Ebene gehen, 
so hat man die Punkte der Curve aufzusuchen, welche der Gleichung genügen 
OF oF 
1. 0x G3 o EG emo 
  
worin $ und » die gegebenen Coordinaten des Punktes II sind. Diese Gleichung 
ist in Bezug auf x, y vom zten Grade. 
Die Glieder der Function #(x, y) wollen wir so gruppiren, dass zuerst alle 
Glieder zten Grades, dann allé Glieder (7 — 1)ten Grades, dann alle (z — 2)ten 
Grades u. s. w. kommen.  Bezeichnet man die einzelnen Gruppen mit z,, 474,24, 
4,9, ...., WObei der Index mit der Gradzahl übereinstimmt, so hat man 
Tx 4) = Ua du d 4*-- E. 
Die Gróssen z,, z,.,, #,—9 sind nach der Voraussetzung homogene Func- 
tionen der Coordinaten; daher ist (8 4, No. 10) 
  
  
04% OU, 1: 
—— xX + —— y — £u, und mithin 
| ox 0 Jy 
0F oF 
9. X be y = nu, + (an — 1) 451 + —Dn,9 + .... 
Ox 0y 
Die Gleichung 1. kann man ersetzen durch 
     
    
    
    
    
     
    
    
  
   
    
     
     
   
  
  
  
  
  
   
   
   
  
   
   
    
   
   
Hier 
nu, 
und nach 
3. 
worin o ( 
e 
Wir 
Gleichung 
Grades ü 
Zieh 
Curve Fi 
Punkte. 
wenn wir 
durch x” 
Durch di 
den Fakt 
worn (z 
(n—2). 
durch / € 
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Diese 
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in Bezug 
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stimmen 
Die 
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als solche 
liegenden 
7? Schnit 
Ebene g 
Curve x 
bei beson 
Curve ver 
Bilde 
Die 1 
Alle (end]